Teorema de Barban-Davenport-Halberstam

En matemàtiques, el teorema de Barban-Davenport-Halberstam és un enunciat sobre la distribució dels nombres primers en una progressió aritmètica. Se sap que en el llarg termini, els nombres primers es distribueixen de manera equitativa a través de progressions possibles amb la mateixa diferència. Els teoremes del tipus Barban-Davenport-Halberstam donen estimacions per al terme d'error, i determinen el grau d'aproximació de les distribucions uniformes.

Enunciat

Fem que a sigui coprimer a q i

$\vartheta (x;q,a)=\sum _{p\le x;p\equiv amodq}\log p$

sigui un recompte ponderat de nombres primers en la progressió aritmètica a mod q. Tenim

$\vartheta (x;q,a)=\frac{x}{\phi (q)}+E(x;q,a)$

on φ és la funció φ d'Euler, i el terme d'error E és petit en comparació amb x. Prenem una suma de quadrats de termes d'error

$V(x,Q)=\sum _{q\le Q}\sum _{amodq}|E(x;q,a){|}^2.$

Llavors tenim

$V(x,Q)=O(Qx\log x)+O(x^2(\log x{)}^{-A})$

per a $1\le Q\le x$ i tots els positius A, on O és la notació O majúscula de Landau.

Aquesta forma del teorema va ser descoberta per Gallagher. El resultat de Barban només és vàlid per a $Q\le x(\log x{)}^{-B}$per a alguns B depenent de A, i el resultat de Davenport-Halberstam és B = A + 5.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Teorema de Bombieri-Vinogradov
• Conjectura d'Elliott-Halberstam