Teorema de Bendixson-Dulac

Segons el teorema de Dulac, qualsevol sistema autònom 2D amb una òrbita periòdica té una regió amb divergència positiva i negativa dins d'aquesta òrbita. Aquí representats per regions vermelles i verdes respectivament

En matemàtiques, el teorema de Bendixson-Dulac sobre sistemes dinàmics estableix que si existeix una funció $\phi (x,y)$ $C^1$ (anomenada la funció Dulac) tal que l'expressió

$\frac{\partial (\phi f)}{\partial x}+\frac{\partial (\phi g)}{\partial y}$

té el mateix signe $\ne 0$ gairebé pertot en una regió simplement connex del pla, llavors el sistema autònom del pla

$\frac{dx}{dt}=f(x,y),$

$\frac{dy}{dt}=g(x,y)$

no té solucions periòdiques no-constants que es trobin completament dins de la regió. «Gairebé pertot» significa a tot arreu excepte possiblement en un conjunt de mesura 0, com un punt o línia.

El teorema va ser establert per primera vegada pel matemàtic suec Ivar Bendixson el 1901 i posteriorment refinat pel matemàtic francès Henri Dulac el 1933 utilitzant el teorema de Green.

Demostració

Utilitzant la prova per contradicció i sense perdre la generalitat, fem que hi hagi una funció $\phi (x,y)$ tal que existeixi una funció tal que

$\frac{\partial (\phi f)}{\partial x}+\frac{\partial (\phi g)}{\partial y}>0$

a la regió simplement connexa $R$. Sigui $C$ una trajectòria tancada del sistema autònom del pla en $R$. Fem que $D$ es trobi a l'interior de $C$. Llavors pel teorema de Green,

$\begin{array}{cc}& \underset{D}{\iint }(\frac{\partial (\phi f)}{\partial x}+\frac{\partial (\phi g)}{\partial y})dxdy={\oint }_C(-\phi gdx+\phi fdy)\\ =& {\oint }_C\phi (-\dot{y}dx+\dot{x}dy).\end{array}$

A causa del signe constant, la integral esquerra de la línia anterior ha d'avaluar un nombre positiu. Però al llarg de $C$, $dx=\dot{x}dt$ i $dy=\dot{y}dt$, l'integrand s'anul·la (és de fet és 0 a tot arreu). Això és una contradicció, de manera que no pot haver-hi aquesta trajectòria tancada $C$; la solució periòdica no existeix i es demostra el teorema.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació

Vegeu també

• Teorema de Poincaré-Bendixson