Teorema de Bernstein-Kushnirenko

El teorema de Bernstein-Kushnirenko o teorema de Bernstein-Khovanskii-Kushnirenko (BKK), provat per David Bernstein i Anatoli Kushnirenko el 1975, és un teorema en l'àlgebra. Afirma que el nombre de solucions complexes no nul·les d’un sistema d’equacions de polinomis de Laurent $f_1=\cdots =f_n=0$ és igual al volum barrejat dels polítops de Newton dels polinomis $f_1,\dots ,f_n$, suposant que tots els coeficients diferents de zero de $f_n$ siguin genèrics.

El nom de Kushnirenko també s'escriu Kouchnirenko. David Bernstein és germà de Joseph Bernstein. Askold Khovanskii ha trobat unes 15 proves diferents d’aquest teorema.

Una afirmació més precisa del teorema és la següent:

Declaració

Sigui $A$ un subconjunt finit de ${\mathbb{Z}}^n.$ Considerem que en el subespai $L_A$ de l’àlgebra polínòmica de Laurent $ℂ[x_1^{\pm 1},\dots ,x_n^{\pm 1}]$ format per polinomis de Laurent els exponents dels quals es troben en $A$. Això és:

$L_A=\{f|f(x)=\sum _{\alpha \in A}{c}_{\alpha }{x}^{\alpha },c_{\alpha }\in ℂ\},$

on per a cada $\alpha =(a_1,\dots ,a_n)\in {\mathbb{Z}}^n$ hem utilitzat la notació abreujada $x^{\alpha }$ per denotar el monomi $x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}.$

Ara prenem $n$ subconjunts finits $A_1,\dots ,A_n$ amb els corresponents subespais de polinomis de Laurent $L_{A_1},\dots ,L_{A_n}.$ Considerem un sistema genèric d’equacions d’aquests subespais, és a dir:

$f_1(x)=\cdots =f_n(x)=0,$

on cada $f_i$és un element genèric (a l'espai vectorial de dimensions finites) $L_{A_i}.$

El teorema de Bernstein-Kushnirenko afirma que el nombre de solucions $x\in (ℂ\setminus 0{)}^n$ de tal sistema és igual a

$n!V({\mathrm{\Delta }}_1,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_n),$

on $V$ indica l'addició de Minkowski del volum barrejat amb cada $i,{\mathrm{\Delta }}_i$ és l'envolupant convexa del conjunt finit de punts $A_i$. Clarament ${\mathrm{\Delta }}_i$ és un polítop reticular convex. Es pot interpretar com el polítop de Newton d’un element genèric del subespai $L_{A_i}$.

En particular, si tots els conjunts $A_i$ són iguals $A=A_1=\cdots =A_n,$ llavors el nombre de solucions d'un sistema genèric de polinomis de Laurent a partir de $L_A$ és igual a

$n!\mathrm{vol}(\mathrm{\Delta }),$

on $\mathrm{\Delta }$ és l'envolupant convexa de $A$ i vol és l'usual volum euclideà $n$-dimensional. S'ha de tenir en compte que, tot i que el volum d’un polítop reticular no és necessàriament un enter, es converteix en un enter després de multiplicar-lo per $n!$.