Teorema de Birch

En matemàtiques, el teorema de Birch, anomenat en honor de Bryan John Birch, és un enunciat sobre la representabilitat de zero per a formes de grau senar.

Expressió del teorema de Birch

Sigui K un cos de nombres algebraics, k, l i n són nombres naturals, r₁, . . . ,r_k són nombres naturals senars, i f₁, . . . ,f_k són uns polinomi homogeni amb coeficients en K de graus r₁, . . . ,r_k respectivament en n variables, llavors existeix un nombre ψ(r₁, . . . ,r_k,l,K) tal que

$n\ge \psi (r_1,\dots ,r_k,l,K)$

implica que existeix un subespai vectorial V de dimensió l de Kⁿ tal que

$f_1(x)=\cdots =f_k(x)=0,\mathrm{\forall }x\in V.$

Observacions

La demostració del teorema és per inducció sobre el grau màxim de les formes f₁, . . . ,f_k. Essencial per a la demostració és un cas especial, que pot ser demostrat per una aplicació del mètode del cercle de Hardy-Littlewood, del teorema que estableix que si n és prou gran i r és senar, llavors l'equació és

$c_1{x}_1^r+\cdots +c_n{x}_n^r=0,c_i\in \mathbb{Z},i=1,\dots ,n$

té una solució en enters x₁, . . . ,x_n, no tots són 0.

La restricció a r senar és necessària, ja que les formes de grau parell, com les formes quadràtiques positives, poden prendre el valor 0 només a l'origen.