Teorema de Boucherot

El teorema de Boucherot , és la base d'un mètode ideat per Paul Boucherot que permet la resolució del càlcul total de potències en circuits de corrent altern. D'acord amb aquest teorema, les potències activa i reactiva totals en un circuit, venen donades per la suma de les potències activa i reactiva, respectivament, de cada una de les seves càrregues. De forma analítica:

$P_T=\sum _{k=1}^n{P}_k$

$Q_T=\sum _{k=1}^n{Q}_k$

Seguidament es demostraran les dues igualtats per a un receptor sèrie i per a un altre paral·lel.

Receptor en sèrie

Figura 1 : Receptor sèrie, a, i diagrama de fases, b

Sigui el circuit sèrie de la figura 1a. Aplicant la llei d'Ohm

$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{I}(\overrightarrow{Z1}+\overrightarrow{Z2}+\overrightarrow{Z3})=$

$=\overrightarrow{I}(R1+X1j+R2+X2j+R3+X3j)$

Prenent la intensitat en l'origen de fases (figura 1b),

$\overrightarrow{I}=I_{}\underset{\_}{/0}=I+0j=I$

i substituint

$\overrightarrow{V}=IR1+R2+ANAR3+(IX1+IX2+IX3)j$

D'altra banda, el valor de $\overrightarrow{V}$ es pot expressar com (vegeu la figura 1b):

$\overrightarrow{V}=V\cos \varphi +(V\sin \varphi )j$

Comparant les dues igualtats

$V\cos \varphi =IR1+R2+ANAR3$

$V\sin \varphi =IX1+IX2+IX3$

Finalment si multipliquem ambdues expressions per I, es dedueix

$P_T=P1+P2+P3$

$Q_T=Q1+Q2+Q3$

Receptor en paral·lel

Figura 2 : Receptor paral·lel, a, i diagrama de fases, b

Sigui el circuit paral·lel i el seu corresponent diagrama de fases, figures 2a i 2b respectivament. Els components actiu i directiu del corrent total, $I_a$ i $I_r$, venen donats com la suma dels components parcials de cadascun dels corrents que circulen per cada branca:

$I_a=I_{a1}+I_{a2}+I_{a3}$

$I_r=I_{r1}+I_{r2}+I_{r3}$

Substituint pels seus valors:

$I\cos \varphi =I_1\cos \varphi \mathrm{\_}1+I_2\cos \varphi \mathrm{\_}2+I_3\cos \varphi \mathrm{\_}3$

$I\sin \varphi =I_1\sin \varphi \mathrm{\_}1+I_2\sin \varphi \mathrm{\_}2+I_3\sin \varphi \mathrm{\_}3$

I si aquestes expressions es multipliquen per V, s'obté

$P_T=P1+P2+P3$

$Q_T=Q1+Q2+Q3$

Que és el mateix resultat que per a un receptor sèrie. En ambdós casos, generalitzant

$P_T=\sum _{k=1}^n{P}_k$

$Q_T=\sum _{k=1}^n{Q}_k$

que és el que es desitjava demostrar.

Potència aparent total

Figura 3 : Triangle de potències d'una instal·lació amb tres receptors, l'1 i el 2 inductius i el 3 capacitiu.

Els dos punts anteriors no impliquen que la potència aparent total d'un sistema s'obtingui com a suma de les potències aparents parcials:

$S_T\ne \sum _{k=1}^n{S}_k$

Gràficament, per efectuar el balanç de potències d'una instal·lació, cal obtenir el triangle total de potències com a suma dels triangles de potència parcials de cada receptor. Si per exemple tinguéssim tres receptors, dos inductius i un capacitiu, el seu triangle de potències seria similar al mostrat en la figura 3, on es dedueix que

$S_T=\sqrt{P_T^2+Q_T^2}$