Teorema de Clairaut

En matemàtiques, el teorema de Clairaut (també conegut com a teorema de Schwarz o de Young) mostra la igualtat de les derivades creuades d'una funció f sempre que:

f : Ω \subseteq ℝ^{n} \to ℝ

tingui derivades parcials contínues per qualsevol punt del domini obert $Ω$ , per exemple, prenguem el punt $a = (a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}) \in Ω$ , llavors, segons aquest teorema, per qualssevol $i, j \in {1, \dots, n}$ tenim que:

\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (a_{1}, \dots, a_{n}) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i}} (a_{1}, \dots, a_{n}) .

Aquest teorema deu el seu nom al matemàtic i astrònom francès Alexis Clairaut.

Una conseqüència immediata d'això és que, si es compleixen les condicions del teorema de Clairaut, la matriu hessiana de la funció f serà simètrica.

Demostració

Denotarem $f_{x_{i}} = \frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ i $f_{x_{i} x_{j}} : = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}$ i demostrarem que si existeixen $f_{x_{i}}, f_{x_{j}} i f_{x_{i} x_{j}}$ en tot l'obert $Ω$ i $f_{x_{i} x_{j}}$ és contínua en un punt $a \in Ω$ , aleshores $\exists f_{x_{j} x_{i}} (a) = f_{x_{i} x_{j}} (a)$ .

Sigui $α : = f_{x_{i} x_{j}} (a)$ . Per continuïtat de $f_{x_{i} x_{j}}$ en $a$ tenim que donat $ε > 0, \exists r > 0$ tal que $B (a, r) \subseteq Ω$ (per ser $Ω$ obert) i $| f_{x_{i} x_{j}} (x) - α | \leq ε \forall x \in B (a, r)$ . $(1)$

Considerem $δ : = \frac{r}{\sqrt{2}}$ . Aleshores, denotant per $e_{i}$ l' $i$ -èsim vector de la base canònica de $ℝ^{n}$ , per a tot $h, k \in (- δ, δ)$ , tenim que

$| | a + h e_{i} + k e_{j} - a | | = | | h e_{i} + k e_{j} | | = \sqrt{h^{2} + k^{2}} < \sqrt{2 δ^{2}} = \sqrt{2 \frac{r^{2}}{2}} = | r | = r \Rightarrow a + h e_{i} + k e_{j} \in B (a, r) (2)$

En particular, com que, per $(1)$ , $B (a, r) \subseteq Ω$ , podem definir la següent funció:

$A : (- δ, δ)^{2} ⟶ ℝ$

$(h, k) ⟼ A (h, k) = f (a + h e_{i} + k e_{j}) - f (a + h e_{i}) - f (a + k e_{j}) + f (a)$

Ara, donats $h, k$ amb $0 < | h |, | k | < δ$ , definim la funció

$u : (- δ, δ) ⟶ ℝ$

$t ⟼ u (t) = f (a + h e_{i} + t e_{j}) - f (a + t e_{j})$

Per $(2)$ i $(1)$ , tenim que $a + h e_{i} + t e_{j}, a + t e_{j} \in B (a, r) \subseteq Ω$ , d'on, com que existeix $f_{x_{j}}$ per hipòtesi, $u$ és derivable i $u^{'} = f_{x_{j}} (a + h e_{i} + t e_{j}) - f_{x_{j}} (a + t e_{j})$ . Com que $0, k \in (- δ, δ),$ podem aplicar el teorema del valor mitjà de Lagrange d'una variable a $u$ a l'interval amb extrems $0$ i $k$ . Així,

$\exists ξ \in ⟨ 0, k ⟩ tal que A (h, k) = u (k) - u (0) = u^{'} (ξ) (k - 0) = [f_{x_{j}} (a + h e_{i} + ξ e_{j}) - f (a + ξ e_{j})] k (*)$

Considerem ara

$v : (- δ, δ) ⟶ ℝ$

$t ⟼ v (t) = f_{x_{j}} (a + t e_{i} + ξ e_{j})$

Com que $t \in (- δ, δ) i ξ \in ⟨ 0, k ⟩ \subseteq (- δ, δ)$ , per $(2) i (1)$ tenim que $a + t e_{i} + ξ e_{j} \in B (a, r) \subseteq Ω$ , d'on, com que existeix $f_{x_{i} x_{j}}$ per hipòtesi, $v$ és derivable i $v^{'} (t) = f_{x_{i} x_{j}} (a + t e_{i} + ξ e_{j})$ .

Com que $0, h \in (- δ, δ),$ podem aplicar el teorema del valor mitjà de Lagrange d'una variable a $v$ a l'interval amb extrems $0$ i $h$ . Així,

$\exists η \in ⟨ 0, h ⟩ tal que f_{x_{j}} (a + h e_{i} + ξ e_{j}) - f_{x_{j}} (a + ξ e_{j}) = v (h) - v (0) = v^{'} (η) (h - 0) = f_{x_{i} x_{j}} (a + η e_{i} + ξ e_{j}) h \overset{\cdot k}{\Rightarrow}$

$\overset{\cdot k}{\Rightarrow} [f_{x_{j}} (a + h e_{i} + ξ e_{j}) - f_{x_{j}} (a + ξ e_{j})] k = f_{x_{i} x_{j}} (a + η e_{i} + ξ e_{j}) h k \overset{(*)}{\Rightarrow} A (h, k) = f_{x_{i} x_{j}} (a + η e_{i} + ξ e_{j}) h k$ .

Definint $z : = a + η e_{i} + ξ e_{j}$ , com que $h, k \neq 0 \Rightarrow h k \neq 0$ , tenim que $\frac{A (h, k)}{h k} = f_{x_{i} x_{j}} (z)$ . Observem que $(2) \Rightarrow z \in B (a, r) \overset{(1)}{\Rightarrow} | f_{x_{i} x_{j}} - α | \leq ε$ . Així, tenim que $| \frac{A (h, k)}{h k} - α | = | f_{x_{i} x_{j}} (z) - α | \leq ε (* *)$ .

Finalment, observem que

$\frac{A (h, k)}{h k} = \frac{1}{k} [\frac{f (a + h e_{i} + k e_{j}) - f (a + k e_{i})}{h} - \frac{f (a + h e_{i}) - f (a)}{h}] \overset{h \to 0}{⟶} \frac{1}{k} [f_{x_{i}} (a + k e_{j}) - f_{x_{i}} (a)] \Rightarrow$

$\Rightarrow ε \overset{(* *)}{\geq} | \frac{A (h, k)}{h k} - α | \overset{h \to 0}{⟶} | \frac{f_{x_{i}} (a + k e_{j}) - f_{x_{i}} (a)}{k} - α | \leq ε \Rightarrow \frac{f_{x_{i}} (a + k e_{j}) - f_{x_{i}} (a)}{k} \overset{k \to 0}{⟶} α \Rightarrow f_{x_{j} x_{i}} (a) = α \overset{def}{=} f_{x_{i} x_{j}} (a) ◻$ Plantilla:Autoritat

Teorema de Clairaut

Demostració

Menú de navegació

Cerca