Teorema de Kutta-Jukowski

El teorema de Kutta-Joukowski és un teorema fonamental de l'aerodinàmica. Porta el nom de l'alemany Martin Wilhelm Kutta i el rus Nikolai Jukovski que van començar a desenvolupar les seves idees clau a principis del segle XX. El teorema relaciona la força de sustentació generada per un cilindre recte amb la velocitat del fluid al voltant del cilindre, la densitat del fluid, i la circulació. La circulació és la integral de línia de la velocitat del fluid, en una corba tancada que conté al cilindre. En les descripcions del teorema Kutta-Joukowski el cilindre recte en general es limita a un cilindre circular o un perfil alar.

El teorema es refereix al flux bidimensional al voltant d'un cilindre (o un cilindre d'envergadura infinita) i determina la sustentació generada per unitat d'envergadura. Quan es coneix la circulació $\mathrm{\Gamma }$, la sustentació $l$ per unitat d'envergadura del cilindre pot ser calculada en primera aproximació usant l'equació següent:

$l=\rho \cdot V\cdot \mathrm{\Gamma }$

on $\rho$ és la densitat del fluid, $V$ és la velocitat del fluid a través del cilindre, i $\mathrm{\Gamma }$ és la circulació.

Kuethe i Schetzer declaren el teorema Kutta-Joukowski així:

La força per unitat de longitud que actua sobre un cilindre recte de qualsevol secció transversal té mòdul $\rho V\mathrm{\Gamma }$ i direcció ortogonal a V.

Es poden trobar proves formals del teorema en textos estàndard. Tot i això, com a argument de plausibilitat, consideri's una superfície sustentadora fina de corda $c$ i envergadura infinita, movent-se a través de l'aire de densitat $\rho$. Deixi's el perfil alar inclinat al flux, tenint una velocitat $V$ l'aire sobre el costat superior del perfil alar i una velocitat $V+\mathrm{\Delta }V$ l'aire sota el perfil. La circulació, és, doncs:

$\mathrm{\Gamma }=(V+\mathrm{\Delta }V)c-Vc=\mathrm{\Delta }Vc$

La diferència de pressió $\mathrm{\Delta }P$ entre els dos costats del perfil alar es pot trobar mitjançant l'aplicació del principi de Bernoulli:

$\frac{\rho }{2}{V}^2+(P+\mathrm{\Delta }P)=\frac{\rho }{2}(V+\mathrm{\Delta }V{)}^2+P$

$\frac{\rho }{2}{V}^2+\mathrm{\Delta }P=\frac{\rho }{2}(V^2+2\cdot V\cdot \mathrm{\Delta }V+\mathrm{\Delta }{V}^2)$

$\mathrm{\Delta }P=\rho \cdot V\cdot \mathrm{\Delta }V$ (negligint $\frac{\rho }{2}\mathrm{\Delta }{V}^2$)

llavors, la força de sustentació per unitat d'envergadura és:

$l=\mathrm{\Delta }P*c=\rho \cdot V\cdot \mathrm{\Delta }V*c=\rho V\mathrm{\Gamma }$

Una versió diferencial d'aquest teorema s'aplica sobre cada element de la placa i és la base de la teoria del perfil alar prim.

Referències

• Batchelor, G. K. (1967) An Introduction to Fluïu Dynamics, Una introducció a la dinàmica de fluids, Cambridge University Press
• Clancy, L.J. (1975), Aerodynamics, Aerodinàmica, Pitman Publishing Limited, London Plantilla:ISBN
• A. m. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics, Fonaments d'Aerodinàmica, John Wiley & Sons, Inc., New York Plantilla:ISBN

Vegeu també

• Aerodinàmica
• Sustentació
• Nikolai Jukovski