Teorema de Rouché-Frobenius

En matemàtiques, es coneix com a Teorema de Rouché-Frobenius (pels matemàtics Eugène Rouché i Ferdinand Georg Frobenius), un teorema que estableix la condició d'existència de solucions en els sistemes d'equacions lineals. També rep els noms de teorema de Kronecker-Capelli, de Rouché-Capelli o de Rouché-Fontené.

Definició

Sigui el sistema lineal d'equacions

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}{\alpha }_1^1{x}^1+{\alpha }_2^1{x}^2+\cdots +{\alpha }_m^1{x}^m& ={\beta }^1\\ {\alpha }_1^2{x}^1+{\alpha }_2^2{x}^2+\cdots +{\alpha }_m^2{x}^m& ={\beta }^2\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots & \dots \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots & \dots \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots & \dots \\ {\alpha }_1^n{x}^1+{\alpha }_2^n{x}^2+\cdots +{\alpha }_m^n{x}^m& ={\beta }^n\\ \end{array}\end{array}(1)$

amb, respectivament, matriu del sistema i matriu ampliada

$A=\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_1^1& {\alpha }_2^1& \dots & {\alpha }_m^1\\ {\alpha }_1^2& {\alpha }_2^2& \dots & {\alpha }_m^2\\ ⋮& ⋮& ⋮⋮⋮& ⋮\\ {\alpha }_1^n& {\alpha }_2^n& \dots & {\alpha }_m^n\end{array}\right),(A|b)=\left(\begin{array}{ccccc}{\alpha }_1^1& {\alpha }_2^1& \dots & {\alpha }_m^1& {\beta }^1\\ {\alpha }_1^2& {\alpha }_2^2& \dots & {\alpha }_m^2& {\beta }^2\\ ⋮& ⋮& ⋮⋮⋮& ⋮& ⋮\\ {\alpha }_1^n& {\alpha }_2^n& \dots & {\alpha }_m^n& {\beta }^n\end{array}\right)$

i sistema homogeni associat

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}{\alpha }_1^1{x}^1+{\alpha }_2^1{x}^2+\cdots +{\alpha }_m^1{x}^m& =0\\ {\alpha }_1^2{x}^1+{\alpha }_2^2{x}^2+\cdots +{\alpha }_m^2{x}^m& =0\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots & \dots \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots & \dots \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots & \dots \\ {\alpha }_1^n{x}^1+{\alpha }_2^n{x}^2+\cdots +{\alpha }_m^n{x}^m& =0\\ \end{array}\end{array}(2)$

Es coneix com a teorema de Rouché-Frobenius el conjunt de les següents proposicions sobre sistemes d'equacions lineals:

• El sistema $(1)$ és compatible, és a dir, té solució, si, i només si, la matriu del sistema i la matriu ampliada tenen el mateix rang, això és,

$\text{rang}A=\text{rang}(A|b)$

• Si el sistema $(1)$ és compatible, aleshores la solució general del sistema s'obté tot sumant a una solució particular la solució general del sistema homogeni associat $(2)$.

Precisions complementàries

Com que, si $\text{rang}A=m$ (el nombre d'incògnites), el sistema homogeni associat només té la solució trivial

$x^1=x^2=\cdots =x^m=0$

resulta que el sistema $(1)$, en cas de ser compatible, és determinat, és a dir, amb solució única, si, i només si, $\text{rang}A=m$. Si $\text{rang}A<m$, aleshores la solució de $(1)$ no és única i el sistema es diu indeterminat.

Si el cos al qual pertanyen tant coeficients com incògnites és infinit, el cas dels nombres racionals, $\mathbb{Q}$, i les seves extensions algebraiques, dels nombres reals, $ℝ$, o dels nombres complexos, $ℂ$, aleshores els nombre de solucions d'un sistema lineal indeterminat és infinit.

Justificació

Quant a la primera afirmació

La primera de les afirmacions del teorema resulta òbvia si tenim en compte que, si en afegir la columna

$b=\left(\begin{array}{c}{\beta }^1\\ {\beta }^2\\ ⋮\\ {\beta }^n\end{array}\right)$

dels termes independents a la matriu $A$ del sistema, el rang no varia, això és perquè el vector columna de termes independents, $b$, no és linealment independent dels vectors columna de coeficients,

$a_1=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^1\\ {\alpha }_1^2\\ ⋮\\ {\alpha }_1^n\end{array}\right),a_2=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_2^1\\ {\alpha }_2^2\\ ⋮\\ {\alpha }_2^n\end{array}\right),\dots ,a_m=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_m^1\\ {\alpha }_m^2\\ ⋮\\ {\alpha }_m^n\end{array}\right)$

i, per tant, hi ha $x^1,x^2,\dots ,x^m$ que fan

$x^1{a}_1+x^2{a}_2+\cdots +x^m{a}_m=b$

i el sistema $(1)$ té solució. En canvi $\text{rang}A<\text{rang}(A|b)$ implica la independència lineal del vector $b$ i, per tant, la no existència dels escalars $x^1,x^2,\dots ,x^m$, és a dir, la no existència de solucions.

Quant a la segona afirmació

La segona de les afirmacions del teorema també resulta immediata després de considerar que, si

$x_1^1,x_1^2,\dots ,x_1^m$

és una solució del sistema $(1)$ i

$x_2^1,x_2^2,\dots ,x_2^m$

també ho és, aleshores

$x_1^1-x_2^1,x_1^2-x_2^2,\dots ,x_1^m-x_2^m$

és una solució del sistema homogeni $(2)$.

Vegeu també

• Sistema lineal d'equacions

Enllaços externs

• Plantilla:YouTube Plantilla:Es