Teorema de Wolstenholme

En teoria de nombres, el teorema de Wolstenholme, en honor del matemàtic britànic Joseph Wolstenholme qui el va enunciar per primera vegada el 1862, és un teorema que permet relacionar determinats nombres primers amb els nombres de Bernoulli.

Definició

Si $p$ és un nombre primer i $p>3$, aleshores el numerador del nombre harmònic (p-1)-èsim és divisible per $p^2$:

$H_{p-1}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^2)$

i el numerador del nombre harmònic generalitzat

$H_{p-1,2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(p-1{)}^2}\equiv 0(\mathrm{mod}p)$

Aquests numeradors de $H_{p-1,2}$ es denominen nombres de Wolstenholme.

Això implica que el coeficient binomial

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^3)$

Exemple

Per $p=11$, el seu nombre harmònic seria:

$H_{11}=\frac{2520}{2520}+\frac{1260}{2520}+\frac{840}{2520}+\frac{630}{2520}+\frac{504}{2520}+\frac{420}{2520}+\frac{360}{2520}+\frac{315}{2520}+\frac{280}{2520}+\frac{252}{2520}=\frac{7381}{2520}$

i el seu numerador

$7381\equiv 0(\mathrm{mod}11^2=121)$

i el seu nombre harmònic generalitzat seria:

$H_{11,2}=\frac{6350400}{2520}+\frac{1587600}{6350400}+\frac{705600}{6350400}+\frac{396900}{6350400}+\frac{254016}{6350400}+\frac{176400}{6350400}+\frac{129600}{6350400}+\frac{99225}{6350400}+\frac{78400}{6350400}+\frac{63504}{6350400}=\frac{9841645}{6350400}$

i el seu numerador

$9841645\equiv 0(\mathrm{mod}11)$

Nombres primers de Wolstenholme

Es diu que un nombre primer és de Wolstenholme si, i només si,

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^4)$

Només es coneixen dos nombres primers de Wolstenholme: $16843$ i $2124679$ Plantilla:OEIS. A més, l'any 2007, McIntosh i Roettger van demostrar que si n'existeix algun altre, ha de ser més gran que $10^9$.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-publicació

Enllaços externs

• Plantilla:Ref web
• Plantilla:Ref web