Teorema de la integral de Cauchy

Plantilla:Falten referències
Plantilla:Confusió El teorema de la integral de Cauchy, descobert per Augustin Louis Cauchy el 1825, és part fonamental del càlcul integral de variable complexa.

Enunciat

Si $f(z)$ és analítica en un domini simplement connex $D$ i la seva derivada és contínua en $D$, llavors per qualsevol contorn tancat simple contingut en $D$ es té:

${\oint }_{D}f(z)dz=0$

Extensió

Posteriorment, Édouard Goursat va demostrar que no era necessari considerar la hipòtesi que la derivada de $f$ fos contínua per assegurar que el valor de la integral sigui zero. D'aquesta manera:

• El teorema segueix essent vàlid quan el contorn $C$ no és simple però es talla un nombre finit de vegades.
• Sigui $C$ un contorn simple tancat, i siguin $C_j$ (j=1, 2, ..., n) un nombre finit de contorns simples tancats dins de $C$, tals que les regions interiors a cada $C_j$ no tinguin punts en comú. Sigui $R$ la regió tancada formada per tots els punts dins de $C$, llevat dels punts interiors a cada $C_j$. Denotem per $F$ tota la frontera orientada de $R$ formada per $C$ i tots els contorns $C_j$, recorreguts en un sentit tal que els punts interiors de $R$ quedin a l'esquerra de $F$. Llavors, si $f$ és analítica en tot $R$, tenim que:

${\oint }_{F}f(z)dz=0$

Arran d'aquest treball, actualment el teorema és conegut com el teorema de la integral de Cauchy-Goursat.

Conseqüències

A partir del teorema de Cauchy-Goursat, es poden demostrar proposicions com la següent:

Sigui $f(z)$ analítica sobre $C$, essent $z$ un contorn tancat simple i a l'interior de $C$. Si s'agafa un punt interior "$z_0$" de $C$, es compleix que:

${\oint }_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi if(z_0)$

que correspon a la fórmula de la integral de Cauchy.

Vegeu també

• Anàlisi complexa
• Fórmula de la integral de Cauchy

Enllaços externs

• Plantilla:Springer
• Plantilla:MathWorld