Teorema de probabilitats totals

El Teorema de probabilitats totals afirma el següent:

Considerem un espai de probabilitats $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mathbb{P})$ i sigui $A_1,A_2,...,A_n,\dots$ una partició (finita o infinit numerable) de $\mathrm{\Omega }$ en esdeveniments que tenen probabilitat diferent de zero:

1. $\mathrm{\Omega }=\bigcup _n{A}_n.$
2. $\text{Per tot }n,A_n\in 𝒜.$
3. Si $n\ne m$, $A_n\cap A_m=\mathrm{\varnothing }$
4. $\text{Per tot }n,\mathbb{P}(A_n)>0.$

Sigui $B$ un esdeveniment qualsevol. Aleshores,

$$\mathbb{P}(B)=\sum _n\mathbb{P}(B|A_n)\mathbb{P}(A_n),$$on $\mathbb{P}(B|A_n)$ és la probabilitat de $B$ condicionada per $A_n$.

Demostració

$$\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(B\cap \mathrm{\Omega })=\mathbb{P}(B\cap (\bigcup _n{A}_n\left)\right)=\mathbb{P}\left(\bigcup _n\right(B\cap A_n\left)\right)=\sum _n\mathbb{P}(B\cap A_n)=\sum _n\mathbb{P}(B|A_n)\mathbb{P}(A_n).$$

Una versió per probabilitats condicionades

Considerem ara una partició finita o numerable d'un esdeveniment $A$ : $A=\bigcup _n{A}_n$ amb les mateixes condicions 2, 3 i 4 d'abans. Aleshores $$\mathbb{P}(B|A)=\sum _n\mathbb{P}(B|A_n)\mathbb{P}(A_n|A).(1)$$Prova: Raonant com a la demostració anterior,

$$\mathbb{P}(B\cap A)=\mathbb{P}(B\cap (\bigcup _n{A}_n\left)\right)=\sum _n\mathbb{P}(B\cap A_n)=\sum _n\mathbb{P}(B|A_n)\mathbb{P}(A_n),$$

Però com que $A_n=A_n\cap A,$ $$\mathbb{P}(A_n)=\mathbb{P}(A_n\cap A)=\mathbb{P}(A_n|A)\mathbb{P}(A).$$Llavors, $$\mathbb{P}(B\cap A)=\sum _n\mathbb{P}(B|A_n)\mathbb{P}(A_n|A)\mathbb{P}(A),$$

d'on surt la fórmula (1).

Observació. Si totes les probabilitats $\mathbb{P}(B|A_n)$ són iguals, posem $\mathbb{P}(B|A_n)=C$, llavors també $\mathbb{P}(B|A)=C.$ En efecte, aplicant la fórmula (1), $$\mathbb{P}(B|A)=\sum _n\mathbb{P}(B|A_n)\mathbb{P}(A_n|A)=C\sum _n\mathbb{P}(A_n|A)=C.$$

La versió del teorema per probabilitats condicionades permet reduir el càlcul de $\mathbb{P}(B|A)$ al de les probabilitats $\mathbb{P}(B|A_n),$que a vegades és més fàcil, ja que l'esdeveniment $A_n$, sent més petit que l'esdeveniment $A$, ofereix informació més precisa, i facilita la predicció (pronòstic = càlcul de probabilitat condicional). Això passa sovint quan s'estudien dues cadenes de Markov, on una és la imatge de l'altra. La demostració de la propietat de Markov per als processos de Galton-Watson n'és un exemple.