Teorema de von Staudt-Clausen

En teoria de nombres, el Teorema de von Staudt-Clausen (o Teorema de Staudt-Clausen) diu que:

$B_{2n}=A_n-\sum _{p_k}\frac{1}{p_k}$

on $B_{2n}$ és un nombre de Bernoulli, $A_n$ és un nombre enter i els $p_k$ són els nombres primers que satisfan $(p_k-1)|2n$, és a dir que $(p_k-1)$ és divisor de $2n$.

Aquest teorema permet caracteritzar els denominadors de tots els nombres de Bernoulli, que sempre seran un producte de nombres primers (i, per tant, mai quadrats perfectes) i sempre seran divisibles per $6$.

Exemples

Per exemple, per a $n=6$, els nombres primers que compleixen la condició són $2,3,5,7,13$, ja que $1,2,4,6,12$ divideixen $12$, és a dir $2n$. Per tant:

$B_{12}=1-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{13})=-\frac{691}{2730}$

Per $n=7$, per exemple, és més senzill, ja que només els primers $2,3$ compleixen la condició (de fet $2$ i $3$ la compleixen sempre):

$B_{14}=2-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})=\frac{7}{6}$

Història

El teorema va ser descobert independent i simultàniament pels matemàtics Karl von Staudt i Thomas Clausen el 1840. El teorema va ser redescobert a començaments del segle XX per Ramanujan i es pot demostrar utilitzant els nombres p-àdics.

Enllaços externs

• von Staudt-Clausen Theorem per Plantilla:Versaleta a MathWorld.