Teorema del valor mitjà de Cauchy

Plantilla:Falten referències En càlcul diferencial, el teorema del valor mitjà de Cauchy és una generalització del teorema del valor mitjà (de Lagrange). A partir d'aquest es pot demostrar la regla de l'Hôpital, molt útil per resoldre indeterminacions del tipus $\frac{0}{0}$ i $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$.

Teorema

El teorema diu el següent: Plantilla:Teorema Com s'ha dit anteriorment, aquest teorema és una generalització del teorema del valor mitjà de Lagrange, ja que aquest ocorre quan $g(x)=x$.

Demostració

Tenim dues funcions $f(x)$ i $g(x)$ continues a $[a,b]$ i derivables a $(a,b)$. A partir d'aquestes podem definir una nova funció com: Plantilla:Equació Aquesta funció compleix el teorema de Rolle, ja que: Plantilla:Equació Per tant, $\mathrm{\exists }c\in (a,b):h^{\prime }(c)=0$. Calculant la derivada de $h(x)$: Plantilla:Equació I introduint-hi el valor de $c$, veiem que Plantilla:Equació Que és equivalent al que volíem demostrar. Plantilla:Equació A més a més, si $g(b)\ne g(a)$ i $g^{\prime }(c)\ne 0$, l'equació anterior es pot escriure com: Plantilla:Equació