Teoria de representació de SU(2)

En l'estudi de la teoria de la representació dels grups de Lie, l'estudi de les representacions de SU(2) és fonamental per a l'estudi de les representacions de grups de Lie semisimples. És el primer cas d'un grup de Lie que és alhora un grup compacte i un grup no abelià. La primera condició implica que la teoria de la representació és discreta: les representacions són sumes directes d'una col·lecció de representacions bàsiques irreductibles (governades pel teorema de Peter-Weyl). El segon significa que hi haurà representacions irreductibles en dimensions superiors a 1.

SU(2) és el grup de cobertura universal de SO(3) i, per tant, la seva teoria de representació inclou la d'aquest últim, a força d'un homomorfisme surjectiu a aquest. Això subjau a la importància de SU(2) per a la descripció del gir no relativista en física teòrica; vegeu a continuació un altre context físic i històric.

Com es mostra a continuació, les representacions irreductibles de dimensions finites de SU(2) estan indexades per un nombre enter no negatiu $m$ i tenir dimensió $m+1$. A la literatura de física, les representacions estan etiquetades per la quantitat $l=m/2$, on $l$ aleshores és un nombre enter o un mig enter, i la dimensió és $2l+1$.

Representacions d'àlgebra de Lie

Les representacions del grup es troben considerant representacions de $𝔰𝔲(2)$, l'àlgebra de Lie de SU(2). Com que el grup SU(2) està simplement connectat, cada representació de la seva àlgebra de Lie es pot integrar a una representació de grup; donarem una construcció explícita de les representacions a nivell de grup a continuació.

Àlgebres de Lie reals i complexades

La veritable àlgebra de Lie $𝔰𝔲(2)$ té una base donada per

$u_1=\left[\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right],u_2=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right],u_3=\left[\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right],$

(Aquestes matrius de base estan relacionades amb les matrius de Pauli per $u_1=+i{\sigma }_1,u_2=-i{\sigma }_2,$ i $u_3=+i{\sigma }_3.$ )

Les matrius són una representació dels quaternions :

$u_1{u}_1=-I,u_2{u}_2=-I,u_3{u}_3=-I,$

$u_1{u}_2=+u_3,u_2{u}_3=+u_1,u_3{u}_1=+u_2,$

$u_2{u}_1=-u_3,u_3{u}_2=-u_1,u_1{u}_3=-u_2.$

on Plantilla:Mvar és la matriu d'identitat 2×2 convencional: $I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right].$

En conseqüència, els parèntesis del commutador de les matrius compleixen

Aleshores és convenient passar a l'àlgebra de Lie complexada

$\mathrm{s}\mathrm{u}(2)+i\mathrm{s}\mathrm{u}(2)=\mathrm{s}\mathrm{l}(2;ℂ).$

(Les matrius autoadjunts amb traça zero més matrius autoadjuntes amb traça zero donen totes les matrius amb traça zero.) Sempre que treballem amb representacions sobre $ℂ$ aquest pas de l'àlgebra de Lie real a la complexa és inofensiu. La raó per passar a la complexificació és que ens permet construir una bona base d'un tipus que no existeix en l'àlgebra de Lie real. $𝔰𝔲(2)$.

L'àlgebra de Lie complexa està abastada per tres elements $X$, $Y$, i $H$, donat per

$H=\frac{1}{i}{u}_3,X=\frac{1}{2i}(u_1-i{u}_2),Y=\frac{1}{2i}(u_1+i{u}_2);$

o, de manera explícita,

$H=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right].$