Topologia del límit inferior

En matemàtiques, la topologia del límit inferior, anomenada també topologia de Sorgenfrey, és una topologia definida sobre la recta real. S'anomena recta de Sorgenfrey a l'espai topològic resultant, denotat per ${ℝ}_{\ell }$. Aquesta topologia està generada per la base $\beta =\{[a,b):a<b\}$ on $a,b$ són nombres reals. L'espai producte ${ℝ}_{\ell }\times {ℝ}_{\ell }$ s'anomena pla de Sorgenfrey. El nom d'aquests espais és en honor de Robert Sorgenfrey.

Propietats

• La topologia del límit inferior és una topologia estrictament més fina que la topologia usual (tot obert en $ℝ$ amb la topologia usual és obert en ${ℝ}_{\ell }$, però no al contrari), ja que tot interval obert $(a,b)$ es pot expressar com una unió d'oberts de la topologia de Sorgenfrey:

$(a,b)=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}[a+\frac{(b-a)}{2n},b)$

• Els intervals de la forma $[a,b)$, $[a,+\mathrm{\infty })$ y $(-\mathrm{\infty },a)$ són oberts i tancats en la recta de Sorgenfrey. A més a més, els punts són tancats, però no són oberts.
• És un espai totalment disconnex.
• És un espai Hausdorff perfectament normal. Com a conseqüència, també és T₀ i T₁.
• És ANI i separable, però no és ANII.
• És de Lindelöf i paracompacte, però no és σ-compacte ni localment compacte.
• No és metritzable ja que tot espai metritzable i separable és ANII.
• És un espai de Baire.

Bibliografia

• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2ª ed. (29 de diciembre 1999). Plantilla:ISBN
• Plantilla:Obra citada
• B. Mendelson, Introduction to topology, Dover Publications, New York, 1990.

Vegeu també

• Espai topològic
• Espai de Hausdorff
• Espai separable