Trajectòria parabòlica

En astrodinàmica, una trajectòria parabòlica és una òrbita kepleriana d'excentricitat 1. Quan el cos orbitant s'allunya del focus s'anomena òrbita d'escapament, en cas contrari s'anomena òrbita de captura. A vegades també es coneix com a òrbita C₃ = 0.

Un cos viatjant en una òrbita d'escapament s'allunyarà del cos central a una velocitat tendent a zero, és a dir, mai retornarà.

Velocitat

La velocitat orbital ( $v$ ) d'un cos que segueix una trajectòria parabòlica és:

v = \sqrt{\frac{2 μ}{r}}

on:

$r$ és la distància radial des del cos central,
$μ$ és el paràmetre gravitacional estàndard.

A qualsevol posició el cos orbitant té la velocitat d'escapament per aquella posició.

Si el cos orbitant té la velocitat d'escapament respecte a la Terra, no té la suficient per escapar del sistema solar, per tant, a prop de la Terra, l'òrbita s'assemblarà a una paràbola, més enllà resultarà ser una el·lipse al voltant del Sol.

Aquesta velocitat ( $v$ ) és directament proporcional a la velocitat orbital d'un cos en una òrbita circular de radi igual a la posició radial del cos orbitant en una òrbita parabòlica:

v = \sqrt{2} \cdot v_{o}

On:

$v_{o}$ és la velocitat orbital d'un cos que segueix una òrbita circular.

Equació del moviment

L'equació del moviment d'un cos seguint una trajectòria parabòlica és:

r = \frac{h^{2}}{μ} \frac{1}{1 + \cos ν}

On:

$r$ és la distància radial des del cos central,
$h$ és el moment angular relatiu específic del cos orbitant,
$ν$ és una anomalia veritable del cos orbitant,
$μ$ és el paràmetre gravitacional estàndard.

Energia

L'energia específica orbital d'un cos que segueix aquest tipus d'òrbita és zero, per tant l'equació de la conservació de l'energia orbital presenta aquesta forma:

ϵ = \frac{v^{2}}{2} - \frac{μ}{r} = 0

On:

$v$ és la velocitat orbital del cos orbitant,
$r$ és la distància radial des del cos central,
$μ$ és el paràmetre gravitacional estàndard.

Equació de Barker

L'equació de Barker relaciona el temps de vol i l'anomalia vertadera d'una òrbita parabòlica.^[1]

$t - T = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{p^{3}}{μ}} (D + \frac{1}{3} D^{3})$

On:

$D = \tan (\frac{ν}{2})$ , $ν$ és l'anomalia veritable del cos orbitant
$t$ és el temps
$T$ és el temps en què el cos orbitant es troba en el periapsi.
$μ$ és el paràmetre gravitacional estàndard.
$p$ és el semi-latus rectum de la trajectòria.

Més generalment, el temps entre qualsevol parell de punts d'una òrbita parabòlica és $t_{f} - t_{0} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{p^{3}}{μ}} (D_{f} + \frac{1}{3} D_{f}^{3} - D_{0} - \frac{1}{3} D_{0}^{3})$

Aquesta equació també es pot expressar en termes de la distància al periapsi ( $r_{p} = \frac{p}{2}$ ):

$t - T = \sqrt{\frac{2 r_{p}^{3}}{μ}} (D + \frac{1}{3} D^{3})$

Al contrari que l'equació de Kepler, que s'utilitza per trobar les anomalies vertaderes en les òrbites el·líptiques i hiperbòliques, l'anomalia vertadera en l'equació de Barker es pot trobar directament a partir del temps. Si es fan les següents substitucions ^[2]

$A = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{μ}{2 r_{p}^{3}}} (t - T)$

$B = \sqrt[3]{A + \sqrt{A^{2} + 1}}$

llavors

$ν = 2 \arctan (B - 1 / B)$