Transformada de Hilbert

La transformada de Hilbert (en vermell) d'una ona quadrada (en blau).

En matemàtiques i en processament de senyals, la transformada de Hilbert $\mathscr{H}$ d'una funció real $s(t)$ s'obté mitjançant la convolució dels senyals $s(t)$ i $1/(\pi t)$ obtenint $\hat{s}(t)$. Per tant, la transformada de Hilbert $\hat{s}(t)$ es pot interpretar com la sortida d'un sistema LTI amb entrada $s(t)$ i resposta a l'impuls $1/(\pi t)$.

Aplicacions

És una eina matemàtica útil per descriure l'envolupant complexa d'un senyal modulat per una portadora real. La seva definició és: Plantilla:Equació on $h(t)=1/\pi t$, considerant la integral com el valor principal (cosa que evita la singularitat $\tau =t$).

Utilitzant $\hat{s}(t)$ es pot construir el senyal analític de s(t) com a:

$S_a(t)=s(t)+i\hat{s}(t)$

La transformada de Hilbert posseeix una resposta en freqüència donada per la transformada de Fourier:

$H(\omega )=ℱ\{h\}(\omega )=\{\begin{array}{cc}+j& \text{si }\omega <0\\ -j& \text{si }\omega >0\end{array}$

o, de manera equivalent:

$H(\omega )=ℱ\{h\}(\omega )=-j\cdot \mathrm{sgn}(\omega )$

$j$ (o també $i$) és la unitat imaginària.

I, com que:

$ℱ\{\hat{s}\}(\omega )=H(\omega )\cdot ℱ\{s\}(\omega )$,

la transformada de Hilbert produeix l'efecte de desplaçar la component de freqüències negatives de $s(t)$ +90° i les part de freqüències positives -90°.

Transformada inversa de Hilbert

També, $H^2(\omega )=-1$, per la qual cosa multiplicant l'equació anterior per $-H(\omega )$, s'obté que:

$ℱ\{s\}(\omega )=-H(\omega )\cdot ℱ\{\hat{s}\}(\omega )$

d'on s'obté la transformada inversa de Hilbert :

$S(t)=-(h*\hat{s})(t)=-\mathscr{H}\{\hat{s}\}(t).$

Exemples de transformades

Senyal $s(t)$	Transformada de Hilbert $\mathscr{H}\{s\}(t)$
$\sin (t)$	$-\cos (t)$
$\cos (t)$	$\sin (t)$
$\frac{1}{t^2+1}$	$\frac{t}{t^2+1}$
$\frac{\sin (t)}{t}$ Funció sinc	$\frac{1-\cos (t)}{t}$
$\sqcap (t)$ Funció rectangle	$\frac{1}{\pi }\ln \left|\frac{t+\frac{1}{2}}{t-\frac{1}{2}}\right|$
$\mathrm{\Delta }(t)$ Funció delta de Dirac	$\frac{1}{\pi t}$