Transformada de Stirling

En matemàtiques combinatòries, la transformada de Stirling d'una successió { a_n : n = 1, 2, 3, ... } de nombres és la seqüència { b_n : n = 1, 2, 3, ... } donada per

$b_n=\sum _{k=1}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}{a}_k$,

on $\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}$ són els nombre de Stirling de segon tipus, que és el nombre de particions d'un conjunt de mida $n$ en $k$ parts. Es tracta d'una transformació de seqüències lineal.

La transformada inversa és

$a_n=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{n-k}\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right]b_k$,

on $(-1{)}^{n-k}\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right]$ és un nombre de Stirling del primer tipus amb signe, on es poden definir els nombres $\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right]$ sense signe com el nombre de permutacions en $n$ elements amb $k$ cicles.

Berstein i Sloane (citats) van afirmar "Si a_n és el nombre d'objectes en una classe de punts etiquetats 1, 2, ..., n (amb les etiquetes diferents, és a dir estructures etiquetades ordinàriament), llavors b_n és el nombre d'objectes amb punts etiquetats 1, 2, ..., n (permetent les repiticions)."

Si

$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n!}{x}^n$

és una sèrie formal de potències, i

$g(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_n}{n!}{x}^n$

amb a_n i b_n com més amunt, llavors

$g(x)=f(e^x-1)$.

De manera similar, la transformada inversa dona lloc a la identitat de funció generatriu

$f(x)=g(\log (1+x))$.

Vegeu també

• Transformada binomial

Referències

• Plantilla:Cite journal.
• Khristo N. Boyadzhiev, Notes on the Binomial Transform, Theory and Table, with Appendix on the Stirling Transform (2018), World Scientific.