Transformada discreta de Txebixov

En matemàtiques aplicades, una transformada discreta de Txebixov (DCT) és un anàleg de la transformada discreta de Fourier per a una funció d'un interval real, convertint en qualsevol direcció entre els valors de la funció en un conjunt de nodes de Txebixov i coeficients d'una funció en base polinomial de Txebixov. Igual que els polinomis de Txebixov, rep el nom de Pafnuti Txebixov.

Els dos tipus més comuns de transformades discretes de Txebixov utilitzen la graella de zeros de Txebixov, els zeros dels polinomis de Txebixov del primer tipus. $T_n(x)$ i la graella de Txebixov extrema, l'extrem dels polinomis de Txebixov del primer tipus, que també són els zeros dels polinomis de Txebixov del segon tipus $U_n(x)$. Ambdues transformacions donen lloc a coeficients de polinomis de Txebixov del primer tipus.

Altres transformacions discretes de Txebixov impliquen quadrícules i coeficients relacionats de polinomis de Txebixov del segon, tercer o quart tipus.

Transformació discreta de Txebixov a la graella d'arrels

La transformada discreta de Txebixov de u(x) en els punts $x_n$ ve donada per:

$a_m=\frac{p_m}{N}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_n)T_m(x_n)$

on:

$x_n=-\cos (\frac{\pi }{N}(n+\frac{1}{2}))$

$a_m=\frac{p_m}{N}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_n)\cos (m{\cos }^{-1}(x_n))$

on $p_m=1\iff m=0$ i $p_m=2$ altrament.

Utilitzant la definició de $x_n$ ,

$a_m=\frac{p_m}{N}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_n)\cos (\frac{m\pi }{N}(N+n+\frac{1}{2}))$

$a_m=\frac{p_m}{N}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_n)(-1{)}^m\cos (\frac{m\pi }{N}(n+\frac{1}{2}))$

i la seva transformada inversa:

$u_n=\sum _{m=0}^{N-1}{a}_m{T}_m(x_n)$

Això es pot demostrar amb el següent codi MATLAB :

function a=fct(f, l)
% x =-cos(pi/N*((0:N-1)'+1/2));

f = f(end:-1:1,:);
A = size(f); N = A(1); 
if exist('A(3)', 'var') && A(3)~=1
 for i=1:A(3)
 a(:,:,i) = sqrt(2/N) * dct(f(:,:,i));
 a(1,:,i) = a(1,:,i) / sqrt(2);
 end
else
 a = sqrt(2/N) * dct(f(:,:,i));
 a(1,:)=a(1,:) / sqrt(2);
end

De fet, la transformada discreta del cosinus (dct) es calcula utilitzant un algorisme ràpid de transformada de Fourier a MATLAB. I la transformada inversa ve donada pel codi MATLAB:

function f=ifct(a, l)
% x = -cos(pi/N*((0:N-1)'+1/2)) 
k = size(a); N=k(1);

a = idct(sqrt(N/2) * [a(1,:) * sqrt(2); a(2:end,:)]);

end