Trident de Newton

Trident d'equació y = x²+1/x

El trident de Newton és el nom donat a una corba estudiada per Isaac Newton. Se la designa també de vegades com paràbola de Descartes - encara que no sigui una paràbola.

Classificació de les cúbiques

En un estudi fet el 1676 però publicat el 1704, Newton intenta classificar totes les corbes cúbiques, és a dir les corbes planes l'equació de les quals és de la forma:

$a{x}^3+b{x}^{2}y+cx{y}^2+d{y}^3+e{x}^2+fxy+g{y}^2+hx+iy+j=0$

N'enumera 72 tipus que pot endreçar en quatre classes per canvis apropiats:

1. les corbes d'equació $x{y}^2+ey=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$
2. les corbes d'equació $xy=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$
3. les corbes d'equació $y^2=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$
4. les corbes d'equació $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

Els tridents de Newton són les corbes de tipus (2)

Equació cartesiana

Els tridents de Newton tenen per equació cartesiana canònica:

$xy=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

on a i d són no nuls.

Anàlisi

Domini de definició

Els tridents de Newton no estan definits a 0. El seu dominit de definició és per tant:

$D_f={ℝ}^{*}$

Derivada

Són funcions racionals. Són per tant derivables a $D_f$, i la seva derivada és:

$f^{\text{'}}(x)=2ax+b-\frac{d}{x^2}$

Límits

Límit a l'infinit

A l'infinit, els tridents de Newton tendeixen o bé cap a $+\mathrm{\infty }$, o bé cap a $-\mathrm{\infty }$.

Si a>0 llavors $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$.

Si a<0 llavors $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$.

Límits a 0

A 0, els tridents de Newton tendeixen cap a $+\mathrm{\infty }$ o $-\mathrm{\infty }$.

Si d>0 llavors $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ i $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$.

Si d<0 llavors $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$ i $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$.

Asímptotes

Tenen per a asímptotes la paràbola d'equació

$y=a{x}^2+bx+c$

així com la hipèrbole d'equació

$y=\frac{d}{x}$

Intersecció amb l'eix d'abscisses

Es compten entre un i tres punts d'intersecció entre un trident de Newton i l'eix d'abscisses segons el valor dels coeficients a, b, c, d.

Relació amb el foli de Descartes

El canvi de variable

$x=\frac{X}{Y}$ et $y=\frac{1}{Y}$

Porta a una equació de la forma:

$XY=a{X}^3+b{X}^{2}Y+cX{Y}^2+d{Y}^3$

En particular, la corba d'equació $y=x^2+\frac{1}{x}$ es transforma en un foli de Descartes

Vegeu també

• Isaac Newton
• Funció matemàtica

Enllaços externs

• Plantilla:En Llista de corbes famoses
• Plantilla:En Un applet Java de simulació de Tridents
• Plantilla:Fr El trident de Newton (explicacions)
• Plantilla:En Pàgina sobre els tridents
• Plantilla:En Comparació entre els tridents de Newton i els de Descartes