Àlgebra de Frobenius

En matemàtiques, especialment en els camps de la teoria de la representació i la teoria dels mòduls, l'àlgebra de Frobenius és una àlgebra associativa unital de dimensions finites amb un tipus especial de forma bilineal que dona a les àlgebres teories de dualitat particularment agradables. Les àlgebres de Frobenius van començar a ser estudiades a la dècada de 1930 per Richard Brauer i Cecil Nesbitt i van rebre el nom de Georg FrobeniusTadashi Nakayama va descobrir els inicis d'una rica teoria de la dualitat Plantilla:Harv, Plantilla:Harv. Jean Dieudonné va utilitzar això per caracteritzar les àlgebres de Frobenius Plantilla:Harv. Les àlgebres de Frobenius es van generalitzar a anells quasi-Frobenius, aquells anells de Noether la representació regular dreta dels quals és injectiva. En els últims temps, s'ha renovat l'interès per les àlgebres de Frobenius a causa de les connexions amb la teoria quàntica de camps topològica.

Àlgebra de Frobenius, Topologisk Kvantefeltteori: relació de Frobenius

Definició

Es diu que una àlgebra de dimensions finites, unital i associativa A definida sobre un camp k és una àlgebra de Frobenius si A està equipada amb una forma bilineal no degenerada Plantilla:Nowrap que compleix l'equació següent: Plantilla:Nowrap. Aquesta forma bilineal s'anomena forma de Frobenius de l'àlgebra.

Un diagrama commutatiu que aclareix la relació entre diverses nocions de morfismes de Frobenius per a esquemes. Creat amb un paquet LaTeX tikz.

De manera equivalent, es pot equipar A amb una funcional Plantilla:Nowrap lineal tal que el nucli de λ no conté cap ideal esquerre diferent de zero d'A.

Una àlgebra de Frobenius s'anomena simètrica si σ és simètrica, o equivalentment λ compleix Plantilla:Nowrap.

També hi ha una noció diferent, majoritàriament no relacionada, de l'àlgebra simètrica d'un espai vectorial.

Aplicacions

Les àlgebres de Frobenius es van estudiar originalment com a part d'una investigació sobre la teoria de la representació de grups finits, i han contribuït a l'estudi de la teoria dels nombres, la geometria algebraica i la combinatòria. S'han utilitzat per estudiar àlgebres de Hopf, teoria de codificació i anells de cohomologia de varietats orientades compactes.

Teories de camp quàntiques topològiques

Recentment, s'ha vist que tenen un paper important en el tractament algebraic i fonamentació axiomàtica de la teoria quàntica de camps topològica. Una àlgebra de Frobenius commutativa determina de manera única (fins a l'isomorfisme) un TQFT de dimensions (1+1). Més precisament, la categoria de Frobenius commutatiu $K$ -àlgebres és equivalent a la categoria de funtors monoïdals forts simètrics de $2$-$\mathbf{\text{Cob}}$ (la categoria de cobordismes bidimensionals entre varietats unidimensionals) a ${\mathbf{\text{Vect}}}_K$ (la categoria d'espais vectorials per sobre $K$ ).

La correspondència entre TQFT i àlgebres de Frobenius es dona de la següent manera:

• Les varietats unidimensionals són unions disjuntes de cercles: un TQFT associa un espai vectorial amb un cercle, i el producte tensor dels espais vectorials amb una unió disjunta de cercles,
• un TQFT associa (funcionalment) a cada cobordisme entre varietats un mapa entre espais vectorials,
• el mapa associat a un parell de pantalons (un cobordisme entre 1 cercle i 2 cercles) dona un mapa del producte o un mapa de coproductes , depenent de com s'agrupin els components del límit, que és commutatiu o comutatiu, i
• el mapa associat a un disc dona una unitat (traça) o unitat (escalars), depenent de l'agrupació del límit.

Aquesta relació entre les àlgebres de Frobenius i els TQFT de dimensions (1+1) es pot utilitzar per explicar la categorització de Khovanov del polinomi de Jones.