Distribució de Cauchy

En Probabilitat i Estadística, la distribució de Cauchy és una distribució de probabilitat de tipus continu. És una distribució $t$ de Student amb un grau de llibertat i també és la distribució del quocient de dues variables normals estàndard independents. La seva funció de densitat té una forma de campana molt semblant a la d'una distribució normal, però amb les cues més pesades, i no té esperança ni variància. S'utilitza molt en diversos camps de la física o l'economia com una alternativa a la distribució normal quan hi ha observacions atípiques.

En Física també se l'anomena distribució de Cauchy-Lorentz, o distribució lorentziana, o (la funció de densitat) funció lorentziana, en honor al físic holandès Hendrik Lorentz que la va utilitzar en els seus treballs. També és coneguda com a distribució de Breit-Wigner

Definició

La distribució de Cauchy amb paràmetre de posició $x_0\in ℝ$ i paràmetre d'escala $\gamma >0$, que es denota per $𝒞(x_0,\gamma )$ o $\text{Cauchy}(x_0,\gamma )$ , està definida per la funció de densitat $$f_{x_0,\gamma }(x)=\frac{1}{\pi }\frac{\gamma }{{\gamma }^2+(x-x_0{)}^2}=\frac{1}{\pi \gamma }\frac{1}{1+(\frac{x-x_0}{\gamma }{)}^2},x\in ℝ.(1)$$

Quan $x_0=0$, es diu que és una distribució de Cauchy simètrica o centrada en l'origen, i quan $x_0=0$ i $\gamma =1$ que és una distribució de Cauchy estàndard. En aquest darrer cas, escriurem la funció de densitat $f$ en lloc de $f_{0,1}$: $$f(x)=\frac{1}{\pi }\frac{1}{1+x^2}.(2)$$Aquesta funció de densitat coincideix amb la densitat d'una distribució $t$ de Student amb un grau de llibertat, $t(1)$. Si $X\sim 𝒞(0,1)$ i $x_0\in ℝ$ i $\gamma >0$, llavors, per la fórmula del canvi de variables, $$Y=x_0+\gamma X\sim 𝒞(x_0,\gamma ).$$Recíprocament, si $V\sim 𝒞(x_0,\gamma )$, llavors, $(V-x_0)/\gamma \sim 𝒞(0,1)$; però cal notar que aquesta estandarització no s'ha fet amb la mitjana i la desviació típica (que en el cas de la distribució de Cauchy no existeixen, com veurem més endavant) sinó amb els paràmetres de posició i escala.

La funció de distribució és $$F_{x_0,\gamma }(x)=\frac{1}{\pi }\arctan \left(\frac{x-x_0}{\gamma }\right)+\frac{1}{2},x\in ℝ.$$

Propietats de la funció de densitat

El màxim de la funció de densitat es troba en el punt $x_0$, que és també el valor de la mediana i la moda. Els quartils 1r. i 3r., són $Q_1=x_0-\gamma$ i $Q_3=x_0+\gamma$. Per tant, el rang interquartil és $Q_3-Q_1=\gamma$.

Comparació amb la distribució normal

Figura 1. Funció de densitat d'una distribució de Cauchy $𝒞(0,\sqrt{2/\pi })$ (en negre) i d'una distribució normal estàndard $𝒩(0,1)$ (en vermell)

Anem a comparar una distribució de Cauchy amb la distribució normal estàndard. Per tal que el valor màxim d'ambdues funcions de densitat coincideixi, considerarem la distribució de Cauchy amb paràmetre d'escala $\gamma =\sqrt{2/\pi }\approx 0.798$. Siguin $X\sim 𝒞(0,\sqrt{2/\pi })$ i $Z\sim 𝒩(0,1)$. Designem per $f_X(x)$ i $f_Z(x)$ les seves funcions de densitat respectivament, vegeu la Figura 1.

Com es veu al gràfic, la distribució normal dona més probabilitat (més àrea entre la corba i l'eix d'abscisses) a la part propera a 0, mentre que la Cauchy en dona més als valors grans (positius o negatius). Per exemple, $$P(-1^{\prime }5\le Z\le 1^{\prime }5)=0^{\prime }87\text{i}P(-1^{\prime }5\le X\le 1^{\prime }5)=0^{\prime }69.$$

Per als valors grans, notem que les dues funcions de densitat es tallen als punts $\alpha \approx \pm 1^{\prime }99$; per a $|x|>\alpha$, tenim que $f_X(x)>f_Z(x),$ la qual cosa implica que $$P(X>t)\ge P(Z>t),\text{per a qualsevol }t>\alpha .$$Per exemple, $$P(X>2^{\prime }2)=0^{\prime }111\text{i}P(Z>2^{\prime }2)=0^{\prime }014.$$Es diu que la distribució de Cauchy té les cues més pesades que la distribució normal. Vegeu també la pàgina distribució amb cues pesades.

Representacions de la distribució de Cauchy

Hem comentat que una distribució de Cauchy estàndard coincideix amb una distribució $t$ de Student amb un grau de llibertat. En conseqüència, de la definició d'aquesta última distribució, si $Z_1$ i $Z_2$ són dues variables normals estàndard independents, llavors $$\frac{Z_1}{|Z_2|}\sim 𝒞(0,1).$$Però també tenim que $$\frac{Z_1}{Z_2}\sim 𝒞(0,1).$$Aquesta propietat pot demostrar-se mitjançant la transformació $(Z_1,Z_2)⟶(\frac{Z_1}{Z_2},Z_2)$ (vegeu la fórmula de canvi de variables per a vectors aleatoris) i calculant la funció de densitat marginal de $Z_1/Z_2$; vegeu Severini pels detalls.

Un exemple de la distribució de Cauchy

Figura 2. Exemple d'una variable aleatòria de Cauchy

Aquest exemple és de Feller. Des del punt $P$ (vegeu la Figura 2) s'emet un raig de llum sobre una línia vertical (línia vermella) amb un angle $\theta$ (positiu o negatiu) respecte la línia horitzontal $PO$. El raig toca la línia vertical en el punt $A$. Designem per $d$ la distància entre els punts $P$ i $O$ i per $X$ la distància (positiva o negativa) entre els punts $O$ i $A$. Si l'angle $\theta$ s'escull a l'atzar uniformement en $(-\pi /2,\pi /2)$ , llavors $X$ té una distribució de Cauchy amb paràmetre d'escala $d$, $X\sim 𝒞(0,d)$.

Per provar aquesta afirmació es considera l'aplicació bijectiva $(-\pi /2,\pi /2)\to ℝ$ donada per $x=d\tan \theta$ i s'aplica la fórmula del canvi de variables per a variables aleatòries amb densitat.

Moments de la distribució de Cauchy

La distribució de Cauchy no té esperança

Figura 3. Gràfic de la funció $xf(x)$ per una distribució de Cauchy estàndard

Anem a argumentar que la distribució de Cauchy no té esperança . N'hi ha prou amb considerar una distribució de Cauchy estàndard. Per calcular l'esperança hem de calcular la integral impròpia $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx$, on $f(x)$ és la funció de densitat (2). Si bé la funció $xf(x)$ va a zero quan $x\to \pm \mathrm{\infty }$, ho fa molt lentament i l'àrea entre la part positiva de l'eix d'abscisses i la corba és $\mathrm{\infty }$, vegeu la figura 3; formalment,

$$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{1+x^2}dx=\frac{1}{\pi }\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{c}{\int }}\frac{x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2\pi }\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\lim }\ln (1+x^2)=\mathrm{\infty }.$$Anàlogament, l'àrea entre la part negativa de l'eix d'abscisses i la corba és infinita: $$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}xf(x)dx=-\mathrm{\infty }.$$Aleshores, al calcular$$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}xf(x)dx+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx,$$s'obté una indeterminació del tipus $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$. Cal notar, que la condició formal per tal que existeixi l'esperança és $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x|f(x)dx<\mathrm{\infty }$, i que no es compleix ja que, $$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{|x|}{1+x^2}dx=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{1+x^2}dx=\mathrm{\infty }.$$

La distribució de Cauchy no té moments de cap ordre n ≥ 1

Sigui $X\sim 𝒞(0,1)$. Hem vist a l'apartat anterior que $$E[|X|]=\mathrm{\infty }.$$d'aquí es dedueix que per a qualsevol $n\ge 1$ , $E[|X{|}^n]=\mathrm{\infty }$ . En efecte, per a qualsevol número real $a\ge 0$ i qualsevol nombre natural $n\ge 1$ tenim que $$a^n\le a^{n+1}+1,$$ ja que si $0\le a\le 1$, llavors $a^n\le 1$; i si $a>1$, llavors $a^n\le a^{n+1}$. Per tant, $$|X{|}^n\le |X{|}^{n+1}+1.$$Llavors, $$E[|X{|}^n]=\mathrm{\infty }⟹E[|X{|}^{n+1}]=\mathrm{\infty }.$$

Funció generatriu de moments

La distribució de Cauchy no té funció generatriu de moments, ja que no té moments de cap ordre.

La distribució de Cauchy té moments absoluts d'ordre menor que 1

Sigui $X\sim 𝒞(0,1)$. Aleshores per a $r\in (-1,1)$, $$E[|X{|}^r]=\frac{1}{\cos (\pi r/2)}.$$Aquesta propietat es demostra de la següent manera:$$E[|X{|}^r]=\frac{1}{\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{|x{|}^r}{1+x^2}dx=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^r}{1+x^2}dx.$$Ara es fa el canvi $1+x^2=1/u$, amb la qual cosa s'obté una integral del tipus funció beta, i l'expressió de la dreta dona $\pi \mathrm{B}((1-r)/2,(1+r)/2)$. Finalment s'aplica la següent identitat per a la funció beta (que és una conseqüència de la fórmula de reflexió de la funció gamma) $$\mathrm{B}(z,1-z)=\frac{\pi }{\sin (\pi z)},z\in ̸\mathbb{Z}.$$

Observació. Per a $r\in (-1,0)$, $E[|X{|}^r]$ s'anomena moment absolut d'ordre negatiu $r$.

Funció característica i aplicacions

Sigui $X\sim 𝒞(x_0,\gamma )$. Llavors la seva funció característica és$$\phi (t)=E\left[e^{itX}\right]=e^{i{x}_{0}t-\gamma |t|},t\in ℝ.(3)$$Vegeu la pàgina funció característica per al seu càlcul.

Suma de variables de Cauchy independents

De la forma de la funció característica és dedueix que si $X_1\sim 𝒞(x_1,{\gamma }_1),\dots ,X_n\sim 𝒞(x_n,{\gamma }_n)$ independents, i $a_1,\dots ,a_n\in ℝ$ , llavors$$a_1{X}_1+\cdots +a_n{X}_n\sim 𝒞(\sum _{j=1}^n{a}_j{x}_j,\sum _{j=1}^n|a_j|{\gamma }_j).(4)$$

La distribució de Cauchy és estable

Recordem que una variable aleatòria no degenerada $X$ és diu que és estable (o que la seva distribució és estable) si per a qualsevol número natural $n\ge 1$ i $X_1,\dots ,X_n$ independents amb la mateixa distribució que $X$, existeixen números $a_n>0$ i $b_n\in ℝ$ tals que $$X_1+\cdots +X_n\stackrel{𝒟}{=}{a}_{n}X+b_n,(*)$$ on $\stackrel{𝒟}{=}$ indica la igualtat en distribució o llei. Si la relació anterior es compleix amb $b_n=0$, llavors diu que la variable aleatòria es estrictament estable.

Recordem també que una variable aleatòria $X$ es diu que és infinitament divisible si per a qualsevol $n\ge 1$, existeixen variables aleatòries $Y_1,\dots ,Y_n$ independents i idènticament distribuïdes tals que$$X\stackrel{𝒟}{=}{Y}_1+\cdots +Y_n.(**)$$Si una variable aleatòria és estable, llavors és infinitament divisible, ja que si es compleix (*), prenent $$Y_j=\frac{X_j}{a_n}-\frac{b_n}{n{a}_n},j=1,\dots ,n,$$obtenim (**).

Retornant a la distribució de Cauchy $𝒞(x_0,\gamma )$, a partir de la la propietat (4) deduïm que es compleix la igualtat (*) amb $a_n=n$ i $b_n=0$, i per tant, és estrictament estable, i, aleshores, també infinitament divisible.

Les funcions característiques de les distribucions estables sempre tenen la forma $$\phi (t)=E[e^{itX}]=\exp \{itc-b|t{|}^{\alpha }(1+i\lambda w_{\alpha }(t))\},$$amb $c\in ℝ$, $b\ge 0$ , $0<\alpha \le 2$ , que s'anomena l'índex, $-1\le \lambda \le 1$ i$$w_{\alpha }(t)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{sgn}(t)\tan \frac{\pi \alpha }{2},& \text{si }\alpha \ne 1,\\ \frac{2}{\pi }\mathrm{sgn}(t)\log |t|,& \text{si }\alpha =1,\end{array}$$on $$\mathrm{sgn}(t)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{si }t>0,\\ 0,& \text{si }t=0,\\ -1,& \text{si }t<0.\end{array}$$Una distribució estable amb aquesta funció característica és designa per $Stab(c,b,\alpha ,\lambda )$ . Comparant l'expressió anterior amb la la funció característica d'una distribució de Cauchy $𝒞(x_0,\gamma )$ donada a (3) deduïm que és $Stab(x_0,\gamma ,1,0)$ ; en particular, l'índex és $\alpha =1$ .

La distribució de Cauchy i la llei dels grans nombres

Siguin $X_1,\dots ,X_n$ independents, totes amb distribució de Cauchy $𝒞(x_0,\gamma )$. Posem $S_n=X_1+\cdots +X_n.$

De la propietat (4) es dedueix que $S_n/n\sim 𝒞(x_0,\gamma )$. Per tant, $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_n}{n}=X,\text{en distribució},$$on $X\sim 𝒞(x_0,\gamma )$. Però això no contradiu la llei dels grans nombres, ja que (a la llei forta) calia suposar que $X$ tenia esperança, la qual cosa amb la distribució de Cauchy no es compleix.

Tornant a l'exemple del raig de llum, tal com comenta Feller, si repetim $n$ vegades l'experiment, el fet que la mitjana $S_n/n$ tingui també una distribució de Cauchy $𝒞(x_0,\gamma )$ vol dir que les mitjanes no es distribuirien més a prop del punt $O$ com s'esperaria amb la llei dels grans nombres, sinó que es dispersen com les dades sense promitjar.

La distribució de Cauchy truncada

Fixats dos números $a,b\in ℝ$, amb $a<b$ , la distribució de Cauchy truncada a l'interval $(a,b)$ (Johnson et al l'anomenen distribució de Cauchy doblement truncada), amb paràmetre de posició $x_0\in ℝ$ i paràmetre d'escala $\gamma >0$ , té funció de densitat $$f_{x_0\gamma ,a,b}(x)=\{\begin{array}{cc}C{f}_{x_0,\gamma }(x),& \text{si }x\in (a,b),\\ 0,& \text{en cas contrari},\end{array}$$on $C$ és la constant normalitzadora $$C=\frac{1}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_{x_0,\gamma }(x)dx}=\frac{\pi }{\arctan \left(\frac{a-x_0}{\gamma }\right)-\arctan \left(\frac{b-x_0}{\gamma }\right)}.$$Més explícitament, després de simplificar, tenim la funció de densitat $$f_{x_0,\gamma ,a,b}(x)=\frac{\gamma }{(\arctan (\frac{a-x_0}{\gamma })-\arctan (\frac{b-x_0}{\gamma }\left)\right)((x-x_0{)}^2+{\gamma }^2)},x\in (a,b).$$Cal notar que si $X\sim 𝒞(x_0,\gamma )$, llavors $f_{x_0,\gamma ,a,b}$ és la densitat de la variable condicionada $X|X\in (a,b)$. Vegeu l'article distribució truncada. Aquesta distribució té l'avantatge que, a l'estar definida en un interval finit, té moments de tots els ordres i funció generatriu de moments. Vegeu per a l'estudi de les seves propietats i diverses aplicacions.

Vegeu també

• Distribució de Cauchy multivariant
• Distribució t de Sudent
• Funcions característiques