Distribució de Weibull

Plantilla:Distribució de probabilitat En teoria de la probabilitat i en estadística, la distribució de Weibull (batejada en honor de Waloddi Weibull) és una distribució de probabilitat contínua.

La distribució de Weibull s'utilitza habitualment per a l'anàlisi de dades de supervivència, degut a la seva flexibilitat i tractabilitat matemàtica. Pot imitar el comportament d'altres distribucions com la distribució normal quan k=3.4 i reproduir exactament la distribució exponencial quan k=1. Si la funció de risc decreix al llarg del temps, aleshores k < 1. Si és constant, k = 1. Si creix al llarg del temps, k > 1.

La funció de risc ajuda a comprendre què està causant les morts/fallides:

• Un risc decreixent suggereix "mortalitat infantil". És a dir, els ítems defectuosos fallen al principi i, per tant, a mesura que avança el temps només queden els ítems no defectuosos, i el risc de fallida disminueix.

• Un risc constant suggereix que no hi ha ítems defectuosos, i que els ítems no es desgasten amb el temps.

• Un risc creixent indica que els ítems es desgasten i, per tant, a mesura que avança el temps augmenta el risc d'una fallida.

Caracterització

Funció de densitat de probabilitat

La seva funció de densitat de probabilitat és

$f(x;k,\lambda )=\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k-1}{e}^{-(x/\lambda {)}^k}$

per a $x\ge 0$ i f(x; k, λ) = 0 per a x < 0, on $k>0$ és el paràmetre de forma i $\lambda >0$ és el paràmetre d'escala.

Funció de distribució

La funció de distribució pot calcular-se de forma explícita, fet que fa la distribució de Weibull atractiva per a modelar certs tipus de dades, com per exemple en l'anàlisi de la supervivència.

$F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda {)}^k}$

Funció de risc

$h(x;k,\lambda )=\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k-1}.$

Propietats

Mitjana: $\lambda \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{k})$

Mediana: $\lambda \ln (2{)}^{1/k}$

Moda: $\lambda {\left(\frac{k-1}{k}\right)}^{\frac{1}{k}}$ if $k>1$

Variància: ${\lambda }^2\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{k})-{\mu }^2$

Asimetria: $\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{3}{k}){\lambda }^3-3\mu {\sigma }^2-{\mu }^3}{{\sigma }^3}$

Moment d'ordre n: $m_n={\lambda }^n\mathrm{\Gamma }(1+n/k)$, on $\mathrm{\Gamma }$ és la funció Gamma.

Generalització

Existeix una genelització de la distribució de Weibull, que empra tres paràmetres. La funció de densitat de probabilitat és:

$f(x;k,\lambda ,\theta )=\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x-\theta }{\lambda }\right)}^{k-1}{e}^{-(\frac{x-\theta }{\lambda }{)}^k}$

per a $x\ge \theta$ i f(x; k, λ, θ) = 0 per x < θ, on $k>0$ és el paràmetre de forma, $\lambda >0$ és el paràmetre d'escala i $\theta$ és el paràmetre de localització. Quan θ=0, aquesta expressió es redueix a la distribució Gamma de dos paràmetres.

La funció de distribució és

$F(x;k,\lambda ,\theta )=1-e^{-(\frac{x-\theta }{\lambda }{)}^k}$

per a x ≥ θ, i F(x; k, λ, θ) = 0 per a x < θ.

Generació de valors aleatoris

Donada una observació aleatòria U obtinguda de la distribució uniforme en l'interval (0, 1), aleshores

$X=\lambda (-\ln (U){)}^{1/k}$

segueix una distribució de Weibull amb paràmetres k i λ. Aquest resultat és una conseqüència immediata d'aplicar la transformació de distribució inversa.

Distribucions relacionades

• $X\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}(\lambda )$ és una distribució exponencial si $X\sim \mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}(\gamma =1,{\lambda }^{-1})$.
• $X\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(\beta )$ és una distribució de Rayleigh si $X\sim \mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}(\gamma =2,\sqrt{2}\beta )$.
• $\lambda (-\ln (X){)}^{1/k}$ segueix una distribució de Weibull si $X\sim \mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}(0,1)$.
• Si X segueix una distribució de Weibull, 1/X segueix una distribució de Weibull inversa amb funció de densitat de probabilitat $f(x;k,\lambda )=(k/\lambda )(\lambda /x{)}^{(k+1)}{e}^{-(\lambda /x{)}^k}$
• Vegeu també la distribució generalitzada del valor extrem.