Teorema de Fubini

El teorema de Fubini permet calcular una integral doble mitjançant una integral iterada i també intercanviar l'ordre d'integració en les integrals iterades. És un resultat fonamental en Anàlisi matemàtica i en Teoria de la probabilitat. En veurem dues versions, una per a integrals de Riemann, que és la que s'utilitza en molts càlculs, i una altra en espais de mesura generals, on també s'anomena Teorema de Fubini-Tonelli.

Teorema de Fubini per a integrals de Riemann

En aquesta secció totes les integrals són en sentit de Riemann, i l'expressió integrable vol dir integrable Riemann. Tots els resultats que segueixen es troben a Marsden Plantilla:Sfn

Teorema 1. (i) Sigui $f:[a,b]\times [c,d]\to ℝ$ una funció contínua. Aleshores $$\underset{[a,b]\times [c,d]}{\int }f(x,y)dxdy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx=\underset{c}{\overset{d}{\int }}(\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx)dy,(1)$$on $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx$$vol dir que primer considerem la variable $x\in [a,b]$ fixada i calculem la integral de la funció $$\begin{array}{cc}f(x,\cdot ):[c,& d]\to ℝ\\ & y\mapsto f(x,y)\end{array}(2)$$que designem per $\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy$. Després calculem la integral de la funció $$\begin{array}{cc}& [c,d]\to ℝ\\ & x\mapsto \underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy\end{array}$$

(ii) Sigui $f:[a,b]\times [c,d]\to ℝ$ una funció integrable, tal que per cada $x$ la la funció donada per (2) sigui integrable. Llavors, $$\underset{[a,b]\times [c,d]}{\int }f(x,y)dxdy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx.$$Un resultat anàleg s'obté suposant que la funció $x\mapsto f(x,y)$ és integrable per a cada $y\in [c,d]$ fix.

Comentaris.

1. La integral de l'esquerra de (1) és una integral de Riemann doble. Alguns autors en lloc d'escriure $\underset{[a,b]\times [c,d]}{\int }f(x,y)dxdy$ utilitzen alguna altra expressió, com $\underset{[a,b]\times [c,d]}{\iint }f(x,y)d\omega$ .
2. Sovint es suprimeixen els parèntesis de les integrals iterades i s'escriu $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dydx$, on l'ordre d'integració és, en aquest cas, primer la integral respecte $y$ . Si és convenient, s'especifiquen les integrals de la següent manera, .$$\underset{x=a}{\overset{b}{\int }}\underset{y=c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dydx$$
3. Alguns autors escriuen el teorema mitjançant les següents funcions auxiliars: per a cada $x\in [a,b]$ fixada, sigui $f_x:[c,d]\to ℝ$ definida per $$f_x(y)=f(x,y),$$ i, anàlogament, per a cada $y\in [c,d]$ fixada, sigui $f^y:[a,b]\to ℝ$ definida per $$f^y(x)=f(x,y).$$Aleshores la fórmula (1) s'escriu $$\underset{[a,b]\times [c,d]}{\int }f(x,y)dxdy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}{f}_x(y)dy)dx=\underset{c}{\overset{d}{\int }}(\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^y(x)dx)dy.$$

Exemple. Sigui $f:[0,\pi /2]\times [0,1]\to ℝ$ definida per $$f(x,y)=x\cos (xy),$$que és una funció contínua.

Aleshores $$\underset{[0,\pi /2]\times [0,1]}{\int }f(x,y)dxdy=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\cos (xy)dy)dx=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}x[\frac{\sin (xy))}{x}{]}_{y=0}^{1}dx=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sin xdx=1.$$Cal notar que que l'elecció de l'ordre d'integració pot ser important. En aquest exemple, la integral iterada que hem calculat és més senzilla que $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}x\cos (xy)dx)dy.$$

Integració sobre regions no rectangulars

El teorema anterior s'estén sense dificultat al cas que integrem sobre una regió del pla delimitada per corbes contínues:

Figura 1. En verd, la regió d'integració $A$

Propietat: Siguin $\phi ,\varphi :[a,b]\to ℝ$ dues funcions contínues tals que $\varphi (x)\le \phi (x)$ , per a tot $x\in [a,b]$ i considerem la regió del pla $$A=\{(x,y):x\in [a,b]\text{i}y\in [\phi (x),\varphi (x)]\}.$$Sigui $f:A\to ℝ$ contínua. Aleshores, $$\underset{A}{\int }f(x,y)dxdy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{\varphi (x)}{\overset{\phi (x)}{\int }}f(x,y)dy)dx.$$Vegeu la Figura 1.

Naturalment, si la regió està limitada verticalment per corbes, es poden intercanviar els papers de $x$ i de $y$ .

Figura 2. En verd, el triangle $T$

Exemple. Considerem el triangle $T$ de vèrtexs els punts (0,0),(1,0) i (0,2), vegeu la Figura 2. Volem integrar la funció $f:T\to ℝ$ definida per $$f(x,y)=x^2+y.$$El triangle $T$ és el conjunt $$T=\{(x,y):x\in [0,1]\text{i}y\in [0,2x]\}.$$Aleshores $\underset{T}{\int }f(x,y)dxdy=\underset{x=0}{\overset{1}{\int }}\underset{y=0}{\overset{2x}{\int }}(x^2+y)dydx=\underset{x=0}{\overset{1}{\int }}[x^{2}y+\frac{y^2}{2}{]}_{y=0}^{2x}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(2x^3+2x^2)dx=[\frac{x^4}{2}+\frac{2x^3}{3}{]}_{x=0}^1=\frac{7}{6}.$

En aquest exemple, el triangle també està definit per $$T=\{(x,y):y\in [0,1]\text{i}x\in [0,y/2]\},$$i podríem haver calculat l'altra integral iterada.

Exemple. En aquest exemple veurem que a vegades és convenient canviar l'ordre d'integració per calcular una integral iterada. Volem calcular la integral iterada $$\underset{x=0}{\overset{1}{\int }}\underset{y=x}{\overset{1}{\int }}{e}^{y^2}dydx$$

Figura 3. En verd, la regió d'integració $T$

Però la integral $\int e^{y^2}dy$ no es pot expressar en termes de funcions elementals (polinomis, funcions exponencials, funcions trigonomètriques,...). Aleshores el que farem serà intercanviar l'ordre d'integració mitjançant el Teorema de Fubini. La integral iterada correspon a integrar la funció $e^{y^2}$ en el triangle $$T=\{(x,y):x\in [0,1]\text{i}y\in [x,1]\}.$$Vegeu la Figura 3.

Però tenim que també$$T=\{(x,y):y\in [0,1]\text{i}x\in [0,y]\}.$$Pel teorema de Fubini, $$\underset{x=0}{\overset{1}{\int }}\underset{y=x}{\overset{1}{\int }}{e}^{y^2}dydx=\underset{y=0}{\overset{1}{\int }}\underset{x=0}{\overset{y}{\int }}{e}^{y^2}dxdy=\underset{y=0}{\overset{1}{\int }}[x{e}^{y^2}{]}_{x=0}^{y}dy=\underset{0}{\overset{1}{\int }}y{e}^{y^2}dy=[\frac{1}{2}{e}^{y^2}{]}_{y=0}^1=\frac{1}{2}(e-1).$$

Teorema de Fubini en espais de mesura

Les referències d'aquest apartat són Hewitt-Stromberg Plantilla:Sfn i Folland Plantilla:Sfn

Siguin $(X,𝒜,\mu )$ i $(Y,ℬ,\nu )$ dos espais de mesura. En el conjunt producte $X\times Y$ es defineix la $\sigma$-àlgebra producte $𝒜\otimes ℬ$ com la mínima $\sigma$-àlgebra que conté tots els rectangles de la forma $A\times B$, amb $A\in 𝒜$ i $B\in ℬ$ , i es construeix la mesura producte $\mu \times \nu$ en $𝒜\otimes ℬ$ a partir de $$\mu \times \nu (A\times B)=\mu (A)\nu (B),A\in 𝒜\text{i}B\in ℬ.$$En Teoria de la mesura és convenient treballar amb funcions que poden prendre els valors $+\mathrm{\infty }$ o $-\mathrm{\infty }$ . Escriurem $[0,+\mathrm{\infty }]=[0,+\mathrm{\infty })\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ i $\overline{ℝ}=ℝ\cup \{+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }\}$. Recordem que totes les seccions d'una funció mesurable de dues variable són mesurables, concretament sigui $f:X\times Y\to \overline{ℝ}$ una funció $𝒜\otimes ℬ$-mesurable. Aleshores per a tot $x\in X$, la funció $$\begin{array}{cc}f(x,\cdot ):& Y\to \overline{ℝ}\\ & y\mapsto f(x,y)\end{array}$$és $ℬ$-mesurable, i per a tot $y\in Y$, $$\begin{array}{cc}f(\cdot ,y):& X\to \overline{ℝ}\\ & x\mapsto f(x,y)\end{array}$$és $𝒜$-mesurable. També cal recordar que si una funció mesurable és no negativa, la seva integral sempre està definida però pot donar $\mathrm{\infty }$.

Teorema.Siguin $(X,𝒜,\mu )$ i $(Y,ℬ,\nu )$ dos espais de mesura $\sigma$-finits.

(i) Cas no negatiu. Sigui $f:X\times Y\to [0,\mathrm{\infty }]$ una funció $𝒜\otimes ℬ$-mesurable no-negativa. Aleshores les funcions $$\begin{array}{cc}& X\to [0,\mathrm{\infty }]\\ & x\mapsto \underset{Y}{\int }f(x,y)d\nu (y)\end{array}\text{i}\begin{array}{cc}& Y\to [0,\mathrm{\infty }]\\ & y\mapsto \underset{Y}{\int }f(x,y)d\mu (x)\end{array}$$són $𝒜$-mesurable i $ℬ$ -mesurable respectivament, i $$\underset{X\times Y}{\int }fd(\mu \times \nu )=\underset{X}{\int }(\underset{Y}{\int }f(x,y)d\nu (y))d\mu (x)=\underset{Y}{\int }(\underset{X}{\int }f(x,y)d\mu (x))d\nu (y),(3)$$(ii) Cas integrable. Sigui $f:X\times Y\to \overline{ℝ}$ una funció $𝒜\otimes ℬ$-mesurable i $\mu \times \nu$-integrable. Aleshores $\mu$-quasi per tot $x\in X$, la funció $$\begin{array}{cc}f(x,\cdot ):& Y\to \overline{ℝ}\\ & y\mapsto f(x,y)\end{array}$$és $\nu$-integrable. A més, la funció (definida $\mu$-quasi per tot $x\in X$)$$\begin{array}{cc}& X\to \overline{ℝ}\\ & x\mapsto \underset{Y}{\int }f(x,y)d\nu (y)\end{array}$$és $\mu$ -integrable. Anàlogament, $\nu$-quasi per tot $y\in Y$, la funció $x\mapsto f(x,y)$ és $\mu$-integrable i la funció $y\mapsto \underset{Y}{\int }f(x,y)d\mu (x)$ és $\nu$ -integrable, i val la fórmula (3).

El cas (i) s'anomena Teorema de Tonelli i el cas (ii) Teorema de Fubini, i conjuntament Teorema de Fubini-Tonelli.

Observació. El teorema anterior també és cert per a funcions amb valors en $[0,\mathrm{\infty })$ o $ℝ$, ja que també són mesurables com a funcions a valors en $\overline{ℝ}$ , vegeu a Plantilla:Sfn les condicions de mesurabilitat respecte la $\sigma$-àlgebra de Borel a $\overline{ℝ}$ (vegeu també ).

Exemple (Billingsley ): Considerem un espai de probabilitat $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ i sigui $Z:\mathrm{\Omega }\to [0,\mathrm{\infty })$ una variable aleatòria no negativa. Aleshores $$E[Z]=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}P\{Z>t\}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}P\{Z\ge t\}dt.$$Prova. En aquesta demostració utilitzarem la funció indicador d'un conjunt $C$ (en Anàlisi matemàtica s'anomena funció característica d'un conjunt): $$1_C(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{si}x\in C,\\ 0,& \text{en cas contrari.}\end{array}$$També utilitzarem que si $z\ge 0$, llavors $$z=\underset{0}{\overset{z}{\int }}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{1}_{[0,z]}(t)dt.$$(Integral de Lebesgue). Aleshores podem escriure l'esperança de $Z$ de la següent forma: $$E[Z]=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }Z(\omega )dP(\omega )=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{1}_{[0,Z(\omega )]}(t))dP(\omega ).$$Però $1_{[0,Z(\omega )]}(t)$ és la secció per $\omega$ (és a dir, amb $\omega$ fixada) de la funció $$\begin{array}{cc}& \mathrm{\Omega }\times [0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })\\ & (\omega ,t)⟼1_{\{Z(\omega )\ge t\}}\end{array}(4)$$La secció d'aquesta funció per $t$ és $\omega \mapsto 1_{\{Z\ge t\}}(\omega )$. Per tant, pel Teorema de Fubini (de fet, Teorema de Tonelli), $$E[Z]=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{1}_{[0,Z(\omega )]}(t)dt)dP(\omega )=\underset{\mathrm{\Omega }\times [0,\mathrm{\infty })}{\int }{1}_{\{Z\ge t\}}(\omega ,t)dP(\omega )\times dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{1}_{\{Z\ge t\}}(\omega )dP(\omega ))dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}P\{Z\ge t\}dt$$Per tant, només ens cal comprovar que la funció definida a (4) és $ℱ\otimes ℬ(ℝ)$-mesurable. Però aquesta propietat es dedueix de què la funció $$\begin{array}{cc}& \mathrm{\Omega }\times [0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty }{)}^2\\ & (\omega ,t)⟼(Z(\omega ),t)\end{array}$$és $ℬ({ℝ}^2)$-mesurable i la funció $$\begin{array}{cc}& [0,\mathrm{\infty }{)}^2\to [0,\mathrm{\infty })\\ & (z,t)⟼1_{\{z>t\}}\end{array}$$és mesurable.

Finalment, la igualtat$$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}P\{Z>t\}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}P\{Z\ge t\}dt$$es dedueix del fet que la funció $t\mapsto P\{Z>t\}$ és decreixent, i aleshores només tindrà un nombre numerable de punts de discontinuïtat , que seran aquells punts on $P\{Z=t\}\ne 0$ (és anàleg al cas de les funcions de distribució: de fet, $P\{Z>t\}=1-F_Z(t)$on $F_Z(t)$ és la funció de distribució de $Z$). Llavors, $$P\{Z>t\}=P\{Z\ge t\},$$excepte, com a màxim,  en un nombre numerable de punts. Per tant, la integral d'ambdues funcions és la mateixa.

Aquesta propietat s'escriu en termes de la funció de distribució de $Z$: $$E[Z]=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1-F_Z(t))dt.$$

Teorema de Fubini-Tonelli en espais de mesura complets

Es diu que un espai de mesura $(S,𝒮,\gamma )$ és complet si la $\sigma$-àlgebra $𝒮$ conté tots els subconjunts dels conjunts de mesura 0. Si un espai $(S,𝒮,\gamma )$ no és complet, mitjançant un procediment que s'anomena compleció Plantilla:Sfn es pot construir una $\sigma$-àlgebra $\overline{𝒮}\supset 𝒮$ i una mesura $\bar{\gamma }$ en $\overline{𝒮}$ que és una extensió de $\bar{\gamma }$, això és, tal que per a qualsevol $A\in 𝒮$ tenim que $\bar{\gamma }(A)=\gamma (A)$. En el cas d'un producte d'espais mesurables $(X\times Y,𝒜\otimes ℬ,\mu \times \nu )$ pot ocórrer que ambdós $(X,𝒜,\mu )$ i $(Y,ℬ,\nu )$ siguin complets però que $(X\times Y,𝒜\otimes ℬ,\mu \times \nu )$ no ho sigui. Llavors, si necessitem treballar en un espai producte complet, cal utilitzar la compleció $(X\times Y,\overline{𝒜\otimes ℬ},\overline{\mu \times \nu })$. Però el teorema de Fubini-Tonelli que hem vist s'aplica a funcions $𝒜\otimes ℬ$ mesurables, i, per tant no serveix directament per a funcions $\overline{𝒜\otimes ℬ}$ mesurables; llavors cal fer una adaptació. Concretament tenim:

Teorema. (Espais de mesura complets). Siguin $(X,𝒜,\mu )$ i $(Y,ℬ,\nu )$ dos espais de mesura complets $\sigma$ -finits .

(i) Cas no negatiu. Sigui $f:X\times Y\to [0,\mathrm{\infty }]$ una funció $\overline{𝒜\otimes ℬ}$-mesurable no-negativa. Aleshores $\mu$-quasi per tot $x\in X$, la funció $$\begin{array}{cc}f(x,\cdot ):& Y\to [0,\mathrm{\infty }]\\ & y\mapsto f(x,y)\end{array}$$és $ℬ$-mesurable i la funció (definida $\mu$-quasi per tot $x\in X$)$$\begin{array}{cc}& X\to [0,\mathrm{\infty }]\\ & x\mapsto \underset{Y}{\int }f(x,y)d\nu (y)\end{array}$$és $𝒜$ -mesurable. Anàlogament, $\nu$-quasi per tot $y\in Y$, la funció $x\mapsto f(x,y)$ és $𝒜$-mesurable i la funció $y\mapsto \underset{Y}{\int }f(x,y)d\mu (x)$ és $ℬ$ -mesurable, i $$\underset{X\times Y}{\int }fd\overline{\mu \times \nu }=\underset{X}{\int }(\underset{Y}{\int }f(x,y)d\nu (y))d\mu (x)=\underset{Y}{\int }(\underset{X}{\int }f(x,y)d\mu (x))d\nu (y),(5)$$(ii) Cas integrable. Sigui $f:X\times Y\to \overline{ℝ}$ una funció $\overline{𝒜\otimes ℬ}$-mesurable i $\overline{\mu \times \nu }$-integrable. Aleshores $\mu$-quasi per tot $x\in X$, la funció $$\begin{array}{cc}f(x,\cdot ):& Y\to \overline{ℝ}\\ & y\mapsto f(x,y)\end{array}$$és $ℬ$-mesurable i $\nu$-integrable. A més, la funció (definida $\mu$-quasi per tot $x\in X$)$$\begin{array}{cc}& X\to \overline{ℝ}\\ & x\mapsto \underset{Y}{\int }f(x,y)d\nu (y)\end{array}$$és $𝒜$-mesurable i $\mu$ -integrable. Anàlogament, per a les funcions $x\mapsto f(x,y)$, i $y\mapsto \underset{Y}{\int }f(x,y)d\mu (x)$, i val la fórmula (5).

Aplicacions

L'avaluació de la integral de Gauß és una de les aplicacions del teorema de Fubini. Això és, que es compleix la següent igualtat

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }.$

Vegeu també

• Teorema de Clairaut (o Teorema de Schwarz) sobre la simetria de les segones derivades.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre

Plantilla:Caixa de navegació