Polinomis de Bernoulli

En matemàtiques, els polinomis de Bernoulli $b_n(x)$ es defineixen mitjançant la funció generatriu:

$\frac{t{e}^{xt}}{e^t-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n(x)\frac{t^n}{n!}$

Apareixen en l'estudi de nombroses funcions especials, en particular de l'funció zeta de Riemann i de la funció zeta de Hurwitz. Els nombres de Bernoulli $b_n$ són els termes independents dels polinomis corresponents, $b_n=B_n(0)$.

La identitat $B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x)=(k+1)x^k$ ens permet donar una forma tancada de la suma

$\sum _{i=1}^n{i}^k=1^k+2^k+\cdots +n^k=\frac{B_{k+1}(n+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}$

Expressió explícita de polinomis de grau baix

$B_0(x)=1$

$B_1(x)=x-1/2$

$B_2(x)=x^2-x+1/6$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3-\frac{1}{6}x$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{42}$.

Vegeu també

• Nombres de Bernoulli.

Referències

• Zwillinger, D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 2003. Plantilla:ISBN.

Enllaços externs

• Plantilla:MathWorld