Binomi de Newton

Visualització de l'expansió fins a la quarta potència del binomi

El Binomi de Newton o teorema del binomi és una fórmula que serveix per a calcular la potència $n$ d'un binomi $(a+b)$. És per tant una generalització de les fórmules elementals $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ i $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$. Aquestes dues formen part del que s'anomenen Identitats notables, i admeten una demostració gràfica elemental en termes d'àrees de quadrats i rectangles, i volums de cubs i paral·lelepípedes.

La fórmula general utilitza nombres combinatoris, i diu:

${(a+b)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k,(1)$

on el coeficient binomial $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ és el nombre combinatori definit com a $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, que es llegeix «$n$ sobre $k$». El conjunt dels coeficients binomials ordenats en fileres amb $n$ creixent de dalt a baix constitueixen l'anomenat triangle de Tartaglia, triangle de Pascal o triangle aritmètic.

Exemples:

• per $n=2$ : $(a+b{)}^2=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0})a^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})ab+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})b^2=a^2+2ab+b^2$

• per $n=3$ : $(a+b{)}^3=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0})a^3+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})a^{2}b+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})a{b}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})b^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
• $12^3=(10+2{)}^3=10^3+310^{2}2+3102^2+2^3=1000+600+120+8=1728$

Quan tenim $(a-b{)}^n$, n'hi ha prou amb escriure-ho com a $(a+(-b){)}^n$, amb el que s'obté $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ i, en general,

${(a-b)}^n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$.

La fórmula és molt anterior a Newton. La seva història pot trobar-se a l'article «Potència d'un binomi» de Ramon Nolla esmentat més avall com a enllaç extern.

Demostració

Raonament combinatori

Tenint en compte l'expressió $x=(a+b{)}^n$, veiem que $x$ es pot escriure com el producte de $n$ binomis, $x=s_1{s}_2\cdots s_n$, on cada $s_i=a+b$, i el desenvolupament de $x$ és la suma de tots els productes formats agafant un terme – ja sigui $a$ o $b$ – de cada $s_i$. Per exemple, el terme $a^n$ en el desenvolupament de $x$ s'obté seleccionant $a$ en cada $s_i$.

El coeficient que multiplica cada terme del desenvolupament de $x$ queda determinat per la quantitat de formes diferents que hi ha per triar termes $s_i$ tals que el seu producte és de la mateixa forma que el terme (excloent el coeficient). En el cas de $t=a^{n-1}b$, $t$ es pot formar a base d'agafar $b$ d'un dels $s_i$ i $a$ de tota la resta. Hi ha $n$ formes de seleccionar un $s_i$ per obtenir la $b$; per tant $t$ s'obté de $n$ formes diferents en el desenvolupament de $x$ i, per tant, el seu coeficient és $n$. En general, per $t=a^{n-k}{b}^k$, hi ha

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$

Formes diferents de seleccionar els $s_i$ per obtenir els $b$s (ja que $k$ $b$s se seleccionen a partir de $n$ $s_i$) i, per tant, aquest ha de ser el coeficient per a $t$.

Demostració algebraica

Una altra forma de demostrar el teorema binomial és per inducció. Quan $n=0$, es té

$(a+b{)}^0=1=\sum _{k=0}^0(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{k})a^{0-k}{b}^k.$

Per hipòtesi d'inducció se suposa que el teorema és veritat quan l'exponent val $m$. Llavors per $n=m+1$

$(a+b{)}^{m+1}=a(a+b{)}^m+b(a+b{)}^m$$=a\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m-k}{b}^k+b\sum _{j=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})a^{m-j}{b}^j$

Aplicant la propietat distributiva

$=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m-k+1}{b}^k+\sum _{j=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})a^{m-j}{b}^{j+1}$

Traient fora del sumatori el terme $k=0$

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m-k+1}{b}^k+\sum _{j=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})a^{m-j}{b}^{j+1}$

fent $j=k-1$

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m-k+1}{b}^k+\sum _{k=1}^{m+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-1})a^{m-k+1}{b}^k$

Traient fora del sumatori de la dreta el terme $k=m+1$

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m-k+1}{b}^k+\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-1})a^{m+1-k}{b}^k+b^{m+1}$

Combinant els sumatoris

$=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^m[(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-1})]a^{m+1-k}{b}^k$

Aplicant la regla de Pascal

$=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})a^{m+1-k}{b}^k$

Afegint dins dels sumatori els termes $m+1$

$=\sum _{k=0}^{m+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})a^{m+1-k}{b}^k$

La sèrie binomial

Si escrivim $(a+b{)}^n=a^n(1+\frac{b}{a}{)}^n$ podem anomenar $x=\frac{b}{a}$ i escriure $\alpha$ en lloc de $n$. La funció $f(x)=(1+x{)}^{\alpha }$rep el nom de funció binomial i té sentit també si $\alpha$ és un nombre complex qualsevol. La seva sèrie de Mclaurin té radi de convergència més gran o igual que 1, segons el valor de $\alpha$, i es coneix com a sèrie binomial o expansió binomial. Aquesta generalitza el Binomi de Newton $(1)$, que és el cas en què $\alpha$ és un nombre natural.

$\begin{array}{cc}(1+x{)}^{\alpha }& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})x^k=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots ,\end{array}$

on $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k}):=\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}$, (regla mnemotècnica: hi ha $k$ factors en el numerador i $k$ factors en el denominador).

Per exemple, quan $\alpha =1/2$ i $|x|<1$ dona la sèrie següent:

$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3-\frac{5}{128}{x}^4+\frac{7}{256}{x}^5-\cdots$.

I quan $\alpha =-1/2$ i $|x|<1$;

$\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}{x}^2-\frac{5}{16}{x}^3+\frac{35}{128}{x}^4-\frac{63}{256}{x}^5+\cdots$.

Observacions

A les demostracions anteriors es veu que és essencial la propietat commutativa $ab=ba$. Si, per exemple, $A$ i $B$ fossin dues matrius que no commutessin, aleshores tindríem simplement $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$ o $(A+B{)}^3=A^3+A^{2}B+ABA+B{A}^2+A{B}^2+BAB+B^{2}A+B^3$.

El Binomi de Newton és molt útil per al càlcul mental. Per exemple, calcular $21^4$ és molt fàcil si s'escriu com a $(20+1{)}^4$.

Observi's que la suma dels coeficients binomials del binomi de grau $n$ és igual a $2^n$i la suma dels coeficients que jauen en els llocs senars coincideix amb la suma dels que jauen en els llocs parells.

El terme $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$ quan $a=1-p$ i $b=p$ és la probabilitat que el nombre d'èxits sigui exactament $k$ en una seqüència de $n$ assaigs independents amb una probabilitat fixa $p$ d'ocurrència de l'èxit entre els assaigs. A aquesta distribució de probabilitat se li dona el nom de distribució binomial.

La primera aparició escrita de la sèrie binomial va ser en una carta de Newton a Henry Oldenburg, secretari de la Royal Society, el 1676. Newton va usar el binomi i la distribució binomial el 1693 per a resoldre un problema sorgit en un joc de daus, per encàrrec de la casa reial de Guillem III.

Comentaris

És famós el vers del poeta portuguès Fernando Pessoa: «O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo./ O que há é pouca gente para dar por isso». ('El binomi de Newton és tan bell com la Venus de Milo./ El que passa és que poques persones ho noten'.)

Un problema conegut, i no molt fàcil, de càlcul mental és l'anomenat «Problema de Rachinsky», que consisteix a calcular mentalment $\frac{10^2+11^2+12^2+13^2+14^2}{365}$. Hi ha diverses maneres de fer-ho, però potser la mes ràpida és expressar els quadrats com a quadrats d'un binomi de manera que apareguin cancel·lacions. Aquest problema és el que apareix escrit a la pissarra al quadre Aritmètica mental. A l'escola pública de S. Rachinsky (1895), del pintor realista rus Nikolay Bogdanov-Belsky.

Vegeu també

• Triangle de Tartaglia
• Identitats notables
• Coeficient Binomial

Enllaços externs

• Potència d'un binomi, per R. Nolla