Distribució arcsinus

Plantilla:Distribució de probabilitat En teoria de la probabilitat, la distribució arcsinus és la distribució de probabilitat que té com a funció de distribució acumulativa:

$F(x)=\frac{2}{\pi }\arcsin \left(\sqrt{x}\right)=\frac{\arcsin (2x-1)}{\pi }+\frac{1}{2}$

per 0 ≤ x ≤ 1. La seva funció de densitat de probabilitat és:

$f(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}}$

on (0, 1). La distribució arcsinus estàndard és un cas particular de la distribució beta amb α = β = 1/2. És a dir, si $X$ és la distribució arcsinus estàndard, llavors $X\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.

La distribució arcsinus apareix a:

• en les lleis de l'arcsinus de Lévy;
• en la llei de l'arcsinus d'Erdős;
• en el mètode de Jeffreys per la probabilitat d'èxit en un assaig de Bernoulli.

Generalització

Suport de fita arbitrària

La distribució pot ser generalitzada per incloure qualsevol domini: a ≤ x ≤ b aplicant una simple transformació:

$F(x)=\frac{2}{\pi }\arcsin \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-a}}\right)$

amb a ≤ x ≤ b, i amb una funció de densitat de probabilitat

$f(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{(x-a)(b-x)}}$

Factor de forma

Plantilla:Distribució de probabilitat La distribució arcsinus estàndard generalitzada en (0,1) amb una funció de densitat de probabilitat

$f(x;\alpha )=\frac{\sin \pi \alpha }{\pi }{x}^{-\alpha }(1-x{)}^{\alpha -1}$

és també un cas particular de la distribució beta amb els paràmetres $\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}(1-\alpha ,\alpha )$.

Noti's que quan $\alpha =\frac{1}{2}$ la distribució arcsinus general es redueix a la distribució estàndard llistada anteriorment.

Propietats

• La distribució arcsinus té la propietat de translació i canvi d'escala per un factor positiu
  • Si $X\sim \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}(a,b)\text{then }kX+c\sim \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}(ak+c,bk+c)$
• El quadrat d'una distribució arcsinus amb paràmetres (-1, 1) és una distribució arcsinus sobre (0, 1)
  • Si $X\sim \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}(-1,1)\text{then }{X}^2\sim \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}(0,1)$

Distribucions relacionades

• Si U i V són variables aleatòries independents i distribuïdes idènticament i uniformes (−π,π), llavors $\sin (U)$, $\sin (2U)$, $-\cos (2U)$, $\sin (U+V)$ i $\sin (U-V)$ tenen totes elles distribucions arcsinus $\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}(-1,1)$.
• Si $X$ és una distribució arcsinus generalitzada amb paràmetres de forma $\alpha$ de domini l'interval finit [a,b] llavors $\frac{X-a}{b-a}\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}(1-\alpha ,\alpha )$

Vegeu també

• Inverses de les funcions trigonomètriques