Hipòtesi de Lindelöf

En matemàtiques, la hipòtesi de Lindelöf és una conjectura formulada pel matemàtic finlandès Ernst Leonard Lindelöf (vegeu Plantilla:Harvtxt) sobre la taxa de creixement de la funció zeta de Riemann en la línia crítica i que està implicada per la hipòtesi de Riemann.

Aquesta postula que, per a qualsevol ε > 0,

$\zeta (\frac{1}{2}+it)\text{ és }𝒪(t^{\epsilon }),$

quan t tendeix a infinit (vegeu notació de Landau). Ja que ε pot ser reemplaçat per un valor menor, aquesta conjectura també pot postular-se com:

Per a qualsevol nombre real positiu ε,

$\zeta (\frac{1}{2}+it)\text{ és }o(t^{\epsilon }).$

La funció μ

Si σ és real, llavors μ(σ) es defineix com l'ínfim de tots els nombres reals a tals que ζ(σ + iT) = O(T ^a)). És trivial el observar que μ(σ) = 0 per a σ > 1, i l'equació funcional de la funció zeta implica que μ(1 − σ) = μ(σ) − σ + 1/2. El teorema de Phragmén-Lindelöf implica també que μ és convexa. La hipòtesi de Lindelöf assegura que μ(1/2) = 0, el que juntament amb les propietats esmentades abans de μ impliquen que μ(σ) és 0 per a σ ≥ 1/2, i 1/2 − σ per a σ σ ≤ 1/2.

El resultat de convexitat de Lindelöf juntament amb μ(1) = 0 y μ(0) = 1/2 impliquen que 0 ≤ μ(1/2) ≤ 1/4. El límit superior de 1/4 va ser rebaixat per Hardy i Littlewood a 1/6 mitjançant l'aplicació del mètode de Weyl d'estimació de sumes exponencials per a l'equació funcional aproximada de la funció zeta. Des de llavors, aquest límit ha estat rebaixat significativament a una quantitat menor que 1/6 per diversos autors, usant llargues i complexes demostracions, com indica la següent taula:

μ(1/2) ≤	μ(1/2) ≤	Autor
1/4	0,25	Plantilla:Harvtxt	Límit de convexitat
1/6	0,1667	Plantilla:Harvtxt
163/988	0,1650	Plantilla:Harvtxt
27/164	0,1647	Plantilla:Harvtxt
229/1392	0,164512	Plantilla:Harvtxt
	0,164511	Plantilla:Harvtxt
19/116	0,1638	Plantilla:Harvtxt
15/92	0,1631	Plantilla:Harvtxt
6/37	0,16217	Plantilla:Harvtxt
173/1067	0,16214	Plantilla:Harvtxt
35/216	0,16204	Plantilla:Harvtxt
139/858	0,16201	Plantilla:Harvtxt
32/205	0,1561	Plantilla:Harvtxt

Relació amb la hipòtesi de Riemann

Plantilla:Harvtxt va mostrar que la hipòtesi de Lindelöf és equivalent al següent enunciat sobre els zeros de la funció zeta:

Per a cada ε > 0, el nombre de zeros amb part real com a mínim 1/2 + ε i la part imaginària T i T + 1 és o(log (T)) quan T tendeix a infinit. La hipòtesi de Riemann implica que no hi ha cap zero en aquesta regió, així doncs implica a la hipòtesi de Lindelöf. Se sap que el nombre de zeros amb part imaginària T i T + 1 és O(log(T)), així que la hipòtesi de Lindelöf sembla només una mica més fort que el que ja ha estat demostrat, però tot i això, segueix resistint a tots els intents de demostració, sent aquests ja molt complicats.

Mitjana de les potències de la funció zeta

La hipòtesi de Lindelöf és equivalent a l'afirmació que

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}|\zeta (1/2+it){|}^{2k}dt=O(T^{1+\epsilon })$

per a tots els enters positius k i per a tots els nombres reals positius ε. Aquesta afirmació ha estat demostrada per k = 1 o 2, però el cas k = 3 sembla més complex i encara es troba com un problema obert.

Hi ha una més precisa conjectura sobre el comportament asimptòtic d'aquesta integral: Es creu que

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}|\zeta (1/2+it){|}^{2k}dt=T\sum _{j=0}^{k^2}{c}_{k,j}\log (T{)}^{k^2-j}+o(T)$

per a algunes constants c_k,j. Això va ser demostrat per John Edensor Littlewood per k = 1 i per Plantilla:Harvtxt per k = 2 (estenent un resultat de Plantilla:Harvtxt el qual va trobar el terme principal).

Plantilla:Harvtxt va suggerir el valor $(42/9!)\prod _p((1-p^{-1}{)}^4(1+4p^{-1}+p^{-2}))$ per al coeficient principal quan k és 6, i Plantilla:Harvtxt van usar teoria de matrius aleatòries per suggerir algunes conjectures sobre els valors dels coeficients per a valors de k grans. Els coeficients principals ha estat conjecturats per ser el producte d'un factor elemental, un certa producte sobre nombres primers, i el nombre de n per n en taules de Young donat per la següent seqüència:

• 1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, Plantilla:OEIS.

Altres conseqüències

Denotant com p_n el n-èsim nombre primer, un resultat donat per Albert Ingham, mostra que la hipòtesi de Lindelöf implica que, per qualsevol ε > 0,

$p_{n+1}-p_n\ll p_n^{1/2+\epsilon }$

si n es prou gran. No obstant això, aquest resultat és molt pitjor que l'àmplia conjectura de l'espai entre primers consecutius.

Referències

• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-web