Distribució de Champernowne

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitat En estadística, la distribució de Champernowne és una distribució de probabilitat simètrica i contínua, que descriu variables aleatòries que prenen tant valors positius com negatius. És una generalització de la distribució logística introduïda per David Champernowne.^[1]^[2]^[3] Champernowne va desenvolupar la distribució per descriure el logaritme dels ingressos.^[2]

Definició

La distribució de Champernowne té una funció de densitat de probabilitat donada per

f (y; α, λ, y_{0}) = \frac{n}{\cosh [α (y - y_{0})] + λ}, - \infty < y < \infty,

on $α, λ, y_{0}$ són paràmetres positius, i n és la constant de normalització, que depèn dels paràmetres. La densitat pot ser reescrita com

f (y) = \frac{n}{1 / 2 e^{α (y - y_{0})} + λ + 1 / 2 e^{- α (y - y_{0})}},

utilitzant el fet que $\cosh y = (e^{y} + e^{- y}) / 2 .$

La densitat f(y) defineix una distribució simètrica amb la mediana y₀, que té cues una mica més pesades que una distribució normal.

El cas especial $λ = 1$ és una funció de densitat de Burr tipus XII.

Quan $y_{0} = 0, α = 1, λ = 1$ ,

f (y) = \frac{1}{e^{y} + 2 + e^{- y}} = \frac{e^{y}}{(1 + e^{y})^{2}},

que és la densitat de la distribució logística estàndard.

Si la distribució de Y, el logaritme d'ingressos, té una distribució de Champernowne, llavors la funció de densitat dels ingressos X = exp(Y) és^[1]

f (x) = \frac{n}{x [1 / 2 (x / x_{0})^{- α} + λ + a / 2 (x / x_{0})^{α}]}, x > 0,

on x₀ = exp(y₀) és l'ingrés mitjà. Si λ = 1, aquesta distribució és sovint anomenada distribució Fisk,^[4] que té densitat

f (x) = \frac{α x^{α - 1}}{x_{0}^{α} [1 + (x / x_{0})^{α}]^{2}}, x > 0 .