Distribució logística generalitzada

El terme distribució logística generalitzada s'utilitza com a nom de diverses famílies de distribucions de probabilitat. Per exemple, Johnson et al. enumeren quatre formes, que s'enumeren a continuació. Una família descrita aquí també s'ha anomenat distribució logística obliqua. Per a altres famílies de distribucions que també s'han anomenat «distribucions logístiques generalitzades» (vegeu la «distribució log-logística desplaçada», que és una generalització de la distribució log-logística).

Definicions

Les definicions següents són per a versions estandarditzades de les famílies, que es poden ampliar a la forma completa com una família a escala-localització. Cadascun d'ells està definit mitjançant la funció de distribució acumulada (F) o la funció de densitat de probabilitat (ƒ), i està definit a (-∞,∞).

Tipus I

$F(x;\alpha )=\frac{1}{(1+e^{-x}{)}^{\alpha }}\equiv (1+e^{-x}{)}^{-\alpha },\alpha >0.$

La funció de densitat de probabilitat corresponent és:

$f(x;\alpha )=\frac{\alpha e^{-x}}{{(1+e^{-x})}^{\alpha +1}},\alpha >0.$

Aquest tipus també ha estat anomenat distribució «desviació-logística».

Tipus II

$F(x;\alpha )=1-\frac{e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x}{)}^{\alpha }},\alpha >0.$

La funció de densitat de probabilitat corresponent és:

$f(x;\alpha )=\frac{\alpha e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x}{)}^{\alpha +1}},\alpha >0.$

Tipus III

$f(x;\alpha )=\frac{1}{B(\alpha ,\alpha )}\frac{e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x}{)}^{2\alpha }},\alpha >0.$

On B és la funció beta. La funció generadora de moments per a aquest tipus és

$M(t)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha -t)\mathrm{\Gamma }(\alpha +t)}{(\mathrm{\Gamma }(\alpha ){)}^2},-\alpha <t<\alpha .$

La funció de distribució acumulada corresponent és:

$F(x;\alpha )=\frac{(e^x+1)\mathrm{\Gamma }(\alpha )e^{\alpha (-x)}{(e^{-x}+1)}^{-2\alpha }{}_2{\tilde{F}}_1(1,1-\alpha ;\alpha +1;-e^x)}{B(\alpha ,\alpha )},\alpha >0.$

Tipus IV

$f(x;\alpha ,\beta )=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}\frac{e^{-\beta x}}{(1+e^{-x}{)}^{\alpha +\beta }},\alpha ,\beta >0.$

De nou, B és la funció beta. La funció generadora de moments per a aquest tipus és

$M(t)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\beta -t)\mathrm{\Gamma }(\alpha +t)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )},-\alpha <t<\beta .$

Aquest tipus també es coneix com la «funció beta exponencial generalitzada del segon tipus».

La funció de distribució acumulada corresponent és:

$F(x;\alpha ,\beta )=\frac{(e^x+1)\mathrm{\Gamma }(\alpha )e^{\beta (-x)}{(e^{-x}+1)}^{-\alpha -\beta }{}_2{\tilde{F}}_1(1,1-\beta ;\alpha +1;-e^x)}{B(\alpha ,\beta )},\alpha ,\beta >0.$

Vegeu també

• Distribució de Champernowne, una altra generalització de la distribució logística.