Q-derivada

En matemàtiques, en l'àrea de la combinatòria, la q-derivada (o derivada de Jackson), és un q-anàleg de la derivada ordinària, introduïda per Frank Hilton Jackson. És la inversió de la q-integral de Jackson. Per a altres formes de q-derivades, vegeu (Plantilla:Harvtxt).

Definició

La q-derivada d'una funció f(x) es defineix com

${\left(\frac{d}{dx}\right)}_{q}f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{qx-x}.$

També s'escriu sovint com $D_{q}f(x)$. La q-derivada també es coneix com a «derivada de Jackson».

Formalment, en termes de l'operador de decalatge de Lagrange en variables logarítmiques, representa l'operador

$D_q=\frac{1}{x}\frac{q^{\frac{d}{d(\ln x)}}-1}{q-1},$

que va a la derivada plana $\to \frac{d}{dx}$ com $q\to 1$.

És manifestament lineal,

$D_q(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x).$

Té una regla del producte anàloga a la regla del producte de la derivada ordinària, amb dues formes equivalents:

$D_q(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).$

De manera similar, compleix una regla del quocient,

$D_q(f(x)/g(x))=\frac{g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)},g(x)g(qx)\ne 0.$

També hi ha una regla similar a la regla de la cadena per a derivades ordinàries. Fem $g(x)=c{x}^k$. Llavors

$D_{q}f(g(x))=D_{q^k}(f)(g(x))D_q(g)(x).$

La funció pròpia de la q-derivada és la funció q-exponencial e_q(x).

Relació amb les derivades ordinàries

La q-diferenciació s'assembla a la diferenciació ordinària, amb diferències curioses. Per exemple, la q-derivada del monomi és:

${\left(\frac{d}{dz}\right)}_q{z}^n=\frac{1-q^n}{1-q}{z}^{n-1}=[n{]}_q{z}^{n-1}$

on $[n{]}_q$ és el q-claudator de n. Vegeu que $\underset{q\to 1}{\lim }[n{]}_q=n$, de manera que la derivada ordinària es recupera en aquest límit.

La n-èsima q-derivada d'una funció ve donada com:

$(D_q^{n}f)(0)=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\frac{(q;q{)}_n}{(1-q{)}^n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}[n{]}_q!$

sempre que la n-èsima derivada ordinària de $f$ existeixi a $x=0$. Aquí, $(q;q{)}_n$ és el símbol q-Pochhammer, i $[n{]}_q!$ és el q-factorial. Si$f(x)$ és analítica, podem aplicar la fórmula de Taylor a la definició de $D_q(f(x))$ per obtenir:

$D_q(f(x))=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(q-1{)}^k}{(k+1)!}{x}^k{f}^{(k+1)}(x).$

El q-anàleg de la sèrie de Taylor d'una funció sobre zero és:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(n)}(0)\frac{z^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(D_q^{n}f)(0)\frac{z^n}{[n{]}_q!}$

Exemples

$D_{q}sin(x)=\frac{\sin \left(qx\right)-\sin \left(x\right)}{(q-1)x}$

q-derivada de sin(x) (animació)

q-derivada de sin(x) (gràfica 3D)

q-derivada de sin(x) (animació 2D)

q-derivada de sin(x) (gràfica de densitat)

$D_{q}tanh(x)=\frac{\tanh \left(qx\right)-\tanh \left(x\right)}{(q-1)x}$

q-derivada de tanh(x) (animació)

q-derivada de tanh(x) (gràfica 3D)

q-derivada de tanh(z) (gràfica 3D complex)

q-derivada de tanh(z) (gràfica de densistat 2D)

Referències

• F. H. Jackson (1908), On q-functions and a certain difference operator, Trans. Roy. Soc. Edin., 46, 253-281.
• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, Plantilla:ISBN, Plantilla:ISBN, Plantilla:ISBN
• Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum Calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. Plantilla:ISBN
• Chung, K. S., Chung, W. S., Nam, S. T., & Kang, H. J. (1994). New q-derivative and q-logarithm. International Journal of Theoretical Physics, 33, 2019-2029.

Bibliografia

• J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator, (1999) ArXiv math/9908140
• Thomas Ernst, The History of q-Calculus and a new method,(2001)

Vegeu també

• Entropia de Tsallis
• Generalitzacions de la derivada
• Integral de Jackson
• Q-exponencial
• Q-polinomi diferencial
• Quantum calculus