Potencial de velocitats

Un potencial de velocitat és un potencial escalar utilitzat en teoria de flux potencial. Va ser introduït per Joseph Louis Lagrange l'any 1788.

És usat en mecànica dels medis continus, quan un medi continu ocupa una regió simplement connexa i és irrotacional. En tal cas:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐮=0$

On Plantilla:Math denota la velocitat de flux. Com a resultat, u pot ser representat com el gradient d'una funció escalar Plantilla:Mvar:

$𝐮=\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}𝐢+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y}𝐣+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial z}𝐤.$

Plantilla:Mvar es coneix com el potencial de velocitats de Plantilla:Math. L'equació de continuïtat $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0$ queda reduïda a l'equació de Laplace de Plantilla:Mvar:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial z^2}=0$

Un potencial de velocitats no és únic. Si Φ és un potencial de velocitats, llavors Plantilla:Math Plantilla:Math(t) és també un potencial de velocitats de u, on Plantilla:Math és una funció escalar de temps que pot ser constant. En altres paraules, els potencials de velocitat són únics fins a una constant, o una funció només dependent del temps.

Si un potencial de velocitats satisfà l'equació de Laplace, es pot comprovar aquesta afirmació, per exemple, desenvolupant l'expressió Plantilla:Math i usant, gràcies al teorema de Clairaut-Schwarz, la commutació entre els operadors gradient i laplacià.

A diferència de la funció de corrent, un potencial de velocitats pot existir en un flux tridimensional.

Ús en acústica

En teoria acústica, sovint es vol treballar amb l'equació d'ona acústica del potencial de velocitats Plantilla:Mvar en comptes de la pressió p i/o de la velocitat de la partícula u.

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial t^2}=0$

Solucionant l'equació d'ona per qualsevol camp p o camp u no necessàriament proporciona una resposta senzilla per l'altre camp. D'altra banda, quan Plantilla:Mvar és solucionat Plantilla:Mvarer, no només és u trobat mentre donat damunt, però p és també fàcilment trobat – del (linearised) equació de Bernolli per fluxos irrotacionals i noestacionaris – com:

$p=-\rho \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}.$

Vegeu també

• Vorticitat

Enllaços externs

• Aplicatiu Interactiu de la Transformada de Joukowski Plantilla:Webarchive