Funció khi de Legendre

En matemàtiques, la funció khi de Legendre és una funció especial la qual les sèries de Taylor són també unes sèries de Dirichlet, donades per

${\chi }_{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1{)}^{\nu }}.$

Com a tal, s'assembla a la sèrie de Dirichlet pel polilogaritme i, en efecte, és trivialment expressable en termes del polilogaritme com

${\chi }_{\nu }(z)=\frac{1}{2}[{\mathrm{Li}}_{\nu }(z)-{\mathrm{Li}}_{\nu }(-z)].$

La funció khi de Legendre chi apareix com la transformada discreta de Fourier, respecte a l'ordre ν, de la funció zeta de Hurwitz, i també dels polinomis d'Euler, amb les relacions explícites que es donen en aquests articles.

La funció khi de Legendre és un cas especial del transcendent de Lerch, i és donada per

${\chi }_{\nu }(z)=2^{-\nu }z\mathrm{\Phi }(z^2,\nu ,1/2).$

Identitats

${\chi }_2(x)+{\chi }_2(1/x)=\frac{{\pi }^2}{4}-\frac{i\pi }{2}\ln |x|.$

$\frac{d}{dx}{\chi }_2(x)=\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}x}{x}.$

Relacions amb integrals

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\arcsin (r\sin \theta )d\theta ={\chi }_2\left(r\right)$

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\arctan (r\sin \theta )d\theta =-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{r\theta \cos \theta }{1+r^2{\sin }^2\theta }d\theta =2{\chi }_2\left(\frac{\sqrt{1+r^2}-1}{r}\right)$

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\arctan (p\sin \theta )\arctan (q\sin \theta )d\theta =\pi {\chi }_2(\frac{\sqrt{1+p^2}-1}{p}\cdot \frac{\sqrt{1+q^2}-1}{q})$

$\underset{0}{\overset{\alpha }{\int }}\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}\frac{dxdy}{1-x^2{y}^2}={\chi }_2(\alpha \beta )\mathrm{s}\mathrm{i}|\alpha \beta |\le 1$

Referències

• Plantilla:Mathworld
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació