Funció zeta de Lerch

En matemàtiques, la funció zeta de Lerch, de vegades anomenada funció zeta de Hurwitz-Lerch, és una funció especial que generalitza la funció zeta de Hurwitz i el polilogaritme. Porta el nom del matemàtic txec Matyáš Lerch (1860-1922)

Definició

Plantilla:VT La funció zeta de Lerch ve donada per

$L(\lambda ,\alpha ,s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{2\pi i\lambda n}}{(n+\alpha {)}^s}.$

Una funció relacionada, el transcendent de Lerch, ve donada per

$\mathrm{\Phi }(z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{(n+\alpha {)}^s}.$

Les dues funcions estan relacionats, tal com

$\mathrm{\Phi }(e^{2\pi i\lambda },s,\alpha )=L(\lambda ,\alpha ,s).$

Representacions integrals

Una representació integral ve donada per

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}{e}^{-at}}{1-z{e}^{-t}}dt$

per a

$\mathrm{\Re }(a)>0\wedge \mathrm{\Re }(s)>0\wedge z<1\vee \mathrm{\Re }(a)>0\wedge \mathrm{\Re }(s)>1\wedge z=1.$

Una representació integral de contorn ve donada com

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=-\frac{\mathrm{\Gamma }(1-s)}{2\pi i}\underset{0}{\overset{(+\mathrm{\infty })}{\int }}\frac{(-t{)}^{s-1}{e}^{-at}}{1-z{e}^{-t}}dt$

per a

$\mathrm{\Re }(a)>0\wedge \mathrm{\Re }(s)<0\wedge z<1$

on el contorn no ha de tancar cap dels punts $t=\log (z)+2k\pi i,k\in Z.$

Hi ha una representació integral semblant a l'integral d'Hermite

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\frac{1}{2a^s}+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{z^t}{(a+t{)}^s}dt+\frac{2}{a^{s-1}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan (t)-ta\log (z))}{(1+t^2{)}^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}dt$

per a

$\mathrm{\Re }(a)>0\wedge |z|<1$

i

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{{\log }^{s-1}(1/z)}{z^a}\mathrm{\Gamma }(1-s,a\log (1/z))+\frac{2}{a^{s-1}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan (t)-ta\log (z))}{(1+t^2{)}^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}dt$

per a

$\mathrm{\Re }(a)>0.$

Representacions semblants incluen

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\frac{1}{2a^s}+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos (t\log z)\sin (s\arctan \frac{t}{a})-\sin (t\log z)\cos (s\arctan \frac{t}{a})}{(a^2+t^2{)}^{\frac{s}{2}}\tanh \pi t}dt,$

i

$\mathrm{\Phi }(-z,s,a)=\frac{1}{2a^s}+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos (t\log z)\sin (s\arctan \frac{t}{a})-\sin (t\log z)\cos (s\arctan \frac{t}{a})}{(a^2+t^2{)}^{\frac{s}{2}}\sinh \pi t}dt,$

sostenint per z positiu (i més generalment allà on conflueixen les integrals). A més,

$\mathrm{\Phi }(e^{i\phi },s,a)=L(\frac{\phi }{2\pi },a,s)=\frac{1}{a^s}+\frac{1}{2\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}{e}^{-at}(e^{i\phi }-e^{-t})}{\cosh t-\cos \phi }dt,$

Aquesta última fórmula també es coneix com a fórmula de Lipschitz.

Casos especials

La funció zeta de Hurwitz és un cas especial, donat per

$\zeta (s,\alpha )=L(0,\alpha ,s)=\mathrm{\Phi }(1,s,\alpha ).$

El polilogaritme és un cas especial de la funció zeta de Lerch, donat per

${\text{Li}}_s(z)=z\mathrm{\Phi }(z,s,1).$

La funció khi de Legendre és un cas especial, donat per

${\chi }_n(z)=2^{-n}z\mathrm{\Phi }(z^2,n,1/2).$

La funció zeta de Riemann ve donada per

$\zeta (s)=\mathrm{\Phi }(1,s,1).$

La funció eta de Dirichlet ve donada per

$\eta (s)=\mathrm{\Phi }(-1,s,1).$

Identitats

Per a λ racional, la suma és una arrel de la unitat i, per tant, $L(\lambda ,\alpha ,s)$ es pot expressar com una suma finita sobre la funció zeta de Hurwitz. Suposem $\lambda =\frac{p}{q}$ amb $p,q\in \mathbb{Z}$ i $q>0$. Llavors $z=\omega =e^{2\pi i\frac{p}{q}}$ i ${\omega }^q=1$.

$\mathrm{\Phi }(\omega ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\omega }^n}{(n+\alpha {)}^s}=\sum _{m=0}^{q-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\omega }^{qn+m}}{(qn+m+\alpha {)}^s}=\sum _{m=0}^{q-1}{\omega }^m{q}^{-s}\zeta (s,\frac{m+\alpha }{q})$

Diverses identitats inclouen:

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=z^n\mathrm{\Phi }(z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}\frac{z^k}{(k+a{)}^s}$

i

$\mathrm{\Phi }(z,s-1,a)=(a+z\frac{\partial }{\partial z})\mathrm{\Phi }(z,s,a)$

i

$\mathrm{\Phi }(z,s+1,a)=-\frac{1}{s}\frac{\partial }{\partial a}\mathrm{\Phi }(z,s,a).$

Representacions en sèries

Una representació en sèries per al transcendent de Lerch ve donada per

$\mathrm{\Phi }(z,s,q)=\frac{1}{1-z}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{-z}{1-z}\right)}^n\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{-s}.$

(Vegeu que $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$és un coeficient binomial).

La sèrie és vàlida per a totes s, i per a z complex amb Re(z)<1/2. Vegeu que hi ha una semblança general amb una representació en sèries similar per a la funció zeta de Hurwitz.

Arthur Erdélyi va donar una sèrie de Taylor al primer paràmetre. Es pot escriure com a la sèrie següent, que és vàlida per a:

$|\log (z)|<2\pi ;s\ne 1,2,3,\dots ;a\ne 0,-1,-2,\dots$

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=z^{-a}[\mathrm{\Gamma }(1-s){(-\log (z))}^{s-1}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\zeta (s-k,a)\frac{{\log }^k(z)}{k!}]$

Si s és un nombre enter positiu, llavors

$\mathrm{\Phi }(z,n,a)=z^{-a}\{\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k=0}{k\ne n-1}}^{\mathrm{\infty }}\zeta (n-k,a)\frac{{\log }^k(z)}{k!}+[\psi (n)-\psi (a)-\log (-\log (z))]\frac{{\log }^{n-1}(z)}{(n-1)!}\},$

on $\psi (n)$ és la funció digamma.

Una sèrie de Taylor amb una tercera variable ve donada per

$\mathrm{\Phi }(z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Phi }(z,s+k,a)(s{)}_k\frac{(-x{)}^k}{k!};|x|<\mathrm{\Re }(a),$

on $(s{)}_k$ és el símbol de Pochhammer.

La sèrie a = -n ve donada per

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\sum _{k=0}^n\frac{z^k}{(a+k{)}^s}+z^n\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(1-m-s{)}_m{\mathrm{Li}}_{s+m}(z)\frac{(a+n{)}^m}{m!};a\to -n$

Un cas especial per a n = 0 té la següent sèrie

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\frac{1}{a^s}+\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(1-m-s{)}_m{\mathrm{Li}}_{s+m}(z)\frac{a^m}{m!};|a|<1,$

on ${\mathrm{Li}}_s(z)$ és el polilogaritme.

Una sèrie asimptòtica per a $s\to -\mathrm{\infty }$

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=z^{-a}\mathrm{\Gamma }(1-s)\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[2k\pi i-\log (z){]}^{s-1}{e}^{2k\pi ai}$

per a $|a|<1;\mathrm{\Re }(s)<0;z\notin (-\mathrm{\infty },0)$, i

$\mathrm{\Phi }(-z,s,a)=z^{-a}\mathrm{\Gamma }(1-s)\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[(2k+1)\pi i-\log (z){]}^{s-1}{e}^{(2k+1)\pi ai}$

per a $|a|<1;\mathrm{\Re }(s)<0;z\notin (0,\mathrm{\infty }).$

Una sèrie asimptòtica en la funció gamma incompleta

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{1}{z^a}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-2\pi i(k-1)a}\mathrm{\Gamma }(1-s,a(-2\pi i(k-1)-\log (z)))}{(-2\pi i(k-1)-\log (z){)}^{1-s}}+\frac{e^{2\pi ika}\mathrm{\Gamma }(1-s,a(2\pi ik-\log (z)))}{(2\pi ik-\log (z){)}^{1-s}}$

per a $|a|<1;\mathrm{\Re }(s)<0.$

Expansió asimptòtica

La funció polilogarítmica ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_n(z)$ es defineix com

${\mathrm{L}\mathrm{i}}_0(z)=\frac{1}{1-z},{\mathrm{L}\mathrm{i}}_{-n}(z)=z\frac{d}{dz}{\mathrm{L}\mathrm{i}}_{1-n}(z).$

Sigui

${\mathrm{\Omega }}_a\equiv \{\begin{array}{cc}ℂ\setminus [1,\mathrm{\infty })& \text{if }\mathrm{\Re }a>0,\\ z\in ℂ,|z|<1& \text{if }\mathrm{\Re }a\le 0.\end{array}$

Per a $|\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(a)|<\pi ,s\in ℂ$ i $z\in {\mathrm{\Omega }}_a$, una expansió asimptòtica de $\mathrm{\Phi }(z,s,a)$ per a grans $a$ i $s$ fixes i $z$ és donada per

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\frac{1}{1-z}\frac{1}{a^s}+\sum _{n=1}^{N-1}\frac{(-1{)}^n{\mathrm{L}\mathrm{i}}_{-n}(z)}{n!}\frac{(s{)}_n}{a^{n+s}}+O(a^{-N-s})$

per a $N\in \mathbb{N}$.

Sigui

$f(z,x,a)\equiv \frac{1-(z{e}^{-x}{)}^{1-a}}{1-z{e}^{-x}}.$

Fem que $C_n(z,a)$ siguin els seus coeficients de Taylor a $x=0$. Aleshores, per a solucions $N\in \mathbb{N},\mathrm{\Re }a>1$ i $\mathrm{\Re }s>0$,

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)-\frac{{\mathrm{L}\mathrm{i}}_s(z)}{z^a}=\sum _{n=0}^{N-1}{C}_n(z,a)\frac{(s{)}_n}{a^{n+s}}+O((\mathrm{\Re }a{)}^{1-N-s}+a{z}^{-\mathrm{\Re }a}),$

com $\mathrm{\Re }a\to \mathrm{\infty }$.

Programari

El transcendent de Lerch està implementat a LerchPhi in Maple.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre Plantilla:Webarchive
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-publicació.

Enllaços externs

• Plantilla:Ref-web
• Plantilla:Ref-web
• Plantilla:Ref-web
• Plantilla:MathWorld
• Plantilla:Ref-web