Integral de Selberg

En matemàtiques, la integral de Selberg és una generalització de la funció beta d'Euler a n dimensions introduïdes per Plantilla:Harvs

La fórmula integral de Selberg

$\begin{array}{cc}{S}_n(\alpha ,\beta ,\gamma )& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\cdots \underset{0}{\overset{1}{\int }}\prod _{i=1}^n{t}_i^{\alpha -1}(1-t_i{)}^{\beta -1}\prod _{1\le i<j\le n}|t_i-t_j{|}^{2\gamma }d{t}_1\cdots d{t}_n\\ & =\prod _{j=0}^{n-1}\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +j\gamma )\mathrm{\Gamma }(\beta +j\gamma )\mathrm{\Gamma }(1+(j+1)\gamma )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +(n+j-1)\gamma )\mathrm{\Gamma }(1+\gamma )}\end{array}$

La fórmula de Selberg implica la identitat de Dixon per a les sèries hipergeomètriques ben ponderades, i alguns casos especials de la conjectura de Dyson.

La fórmula integral d'Aomoto

Plantilla:Harvtxt va provar una fórmula integral una mica més general:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\cdots \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\prod _{i=1}^k{t}_i\right)\prod _{i=1}^n{t}_i^{\alpha -1}(1-t_i{)}^{\beta -1}\prod _{1\le i<j\le n}|t_i-t_j{|}^{2\gamma }d{t}_1\cdots d{t}_n$

$=S_n(\alpha ,\beta ,\gamma )\prod _{j=1}^k\frac{\alpha +(n-j)\gamma }{\alpha +\beta +(2n-j-1)\gamma }.$

La fórmula integral de Mehta

La integral de Mehta és

$\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cdots \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\prod _{i=1}^n{e}^{-t_i^2/2}\prod _{1\le i<j\le n}|t_i-t_j{|}^{2\gamma }d{t}_1\cdots d{t}_n.$

És la funció de partició per a un gas de càrregues puntuals que es mouen sobre una línia que s'atreu a l'origen Plantilla:Harv. El seu valor es pot deduir del de la integral de Selberg, i és

$\prod _{j=1}^n\frac{\mathrm{\Gamma }(1+j\gamma )}{\mathrm{\Gamma }(1+\gamma )}.$

Això ho va conjecturar Plantilla:Harvtxt, que desconeixien els treballs anteriors de Selberg.

La fórmula integral de Macdonald

Plantilla:Harvtxt va conjecturar la següent extensió de la integral de Mehta a tots els sistemes d'arrel finita; el cas original de Mehta corresponent al sistema d'arrels A_n−1.

$\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\int \cdots \int {\left|\prod _r\frac{2(x,r)}{(r,r)}\right|}^{\gamma }{e}^{-(x_1^2+\cdots +x_n^2)/2}d{x}_1\cdots d{x}_n=\prod _{j=1}^n\frac{\mathrm{\Gamma }(1+d_j\gamma )}{\mathrm{\Gamma }(1+\gamma )}$

El producte està sobre les r arrels del sistema d'arrels i els nombres d_j són els graus dels generadors de l'anell d'invariants del grup de reflexió. Plantilla:Harvtxt va donar una prova uniforme per a tots els grups cristal·lins de reflexió. Diversos anys després ho va demostrar en general (Plantilla:Harvtxt), utilitzant els càlculs assistits per ordinador per Garvan.

Referències

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació