Conjectura de Dyson

Freeman Dyson, 2005

En matemàtiques, la conjectura de DysonPlantilla:Sfn és una conjectura sobre el terme constant de certs polinomis de Laurent, demostrada per Wilson i Gunson. Andrews ho va generalitzar a la conjectura de q-Dyson, demostrada per Zeilberger i Bressoud i de vegades anomenat teorema de Zeilberger-Bressoud. Macdonald el va generalitzar a sistemes arrels més generals amb la conjectura de terme constant de Macdonald, demostrada per Cherednik.

La conjectura de Dyson

La conjectura de Dyson afirma que el polinomi de Laurent

$\prod _{1\le i\ne j\le n}(1-t_i/t_j{)}^{a_i}$

té el terme constant

$\frac{(a_1+a_2+\cdots +a_n)!}{a_1!a_2!\cdots a_n!}.$

Wilson i GunsonPlantilla:Sfn van demostrar la conjectura per primera vegada de manera independent.Plantilla:Sfn Després, GoodPlantilla:Sfn va trobar una prova curta en observar que els polinomis de Laurent i, per tant, els seus termes constants, satisfan les relacions de recursió

$F(a_1,\dots ,a_n)=\sum _{i=1}^{n}F(a_1,\dots ,a_i-1,\dots ,a_n).$

En el cas n = 3 de la conjectura de Dyson es desprèn de la identitat de Dixon.

Sills, ZeilbergerPlantilla:Sfn i SillsPlantilla:Sfn va utilitzar un ordinador per trobar expressions per a coeficients no constants de Dyson del polinomi Laurent.

La integral de Dyson

Quan tots els valors a_i són igual a β/2, el terme constant en la conjectura de Dyson és el valor de la integral de Dyson

$\frac{1}{(2\pi {)}^n}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\cdots \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\prod _{1\le j<k\le n}|e^{i{\theta }_j}-e^{i{\theta }_k}{|}^{\beta }d{\theta }_1\cdots d{\theta }_n.$

La integral de Dyson és un cas especial de la integral de Selberg després d'un canvi de variable, i val

$\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\beta n/2)}{\mathrm{\Gamma }(1+\beta /2{)}^n}$

que dona una prova més de la conjectura de Dyson en aquest cas especial.

La conjectura de q-Dyson

AndrewsPlantilla:Sfn va trobar un q-anàleg de la conjectura de Dyson, afirmant que el terme constant de

$\prod _{1\le i<j\le n}{(\frac{x_i}{x_j};q)}_{a_i}{(\frac{q{x}_j}{x_i};q)}_{a_j}$

és

$\frac{(q;q{)}_{a_1+\cdots +a_n}}{(q;q{)}_{a_1}\cdots (q;q{)}_{a_n}}.$

Aquí (a;q)_n és el símbol q-Pochhammer.

La conjectura de Macdonald

MacdonaldPlantilla:Sfn va estendre la conjectura a sistemes arrels finits o afins arbitraris, amb la conjectura original de Dyson corresponent al cas del sistema radicular A_n-1 i la conjectura d'Andrews corresponent al sistema arrel afí U_n-1. Macdonald va reformular aquestes conjectures com a conjectures sobre les normes dels polinomis de Macdonald. CherednikPlantilla:Sfn va provar les conjectures de Macdonald amb àlgebres de Hecke doblement afines.

La forma de Macdonald de la conjectura de Dyson per a sistemes radicals del tipus BC està estretament relacionada amb la integral de Selberg.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació