Desigualtat de Hilbert

En anàlisi matemàtica, una branca de les matemàtiques, la desigualtat de Hilbert afirma que

$\left|\sum _{r\ne s}\frac{u_r\overline{u_s}}{r-s}\right|\le \pi \sum _r|u_r{|}^2.$

per a qualsevol seqüència u₁,u₂,... de nombres complexos. El primer en demostar-ho va ser el matemàtic alemany David Hilbert, amb la constant 2$\pi$ en lloc de $\pi$; la constant que va trobar Issai Schur. Implica que la transformada discreta de Hilbert és un operador delimitat en ℓ₂.

Formulació

Fem que (u_m) sigui una seqüència de nombres complexos. Si la seqüència és infinita, suposem que és sumable al quadrat:

$\sum _m|u_m{|}^2<\mathrm{\infty }$ $\pi$

La desigualtat de Hilbert (vegeu Steele, 2004) afirma que:

$\left|\sum _{r\ne s}\frac{u_r\overline{u_s}}{r-s}\right|\le \pi \sum _r|u_r{|}^2.$

Generalitzacions

El 1973, Montgomery i Vaughan va informar de diverses generalitzacions de la desigualtat de Hilbert, tenint en compte les formes bilineals:

$\sum _{r\ne s}{u}_r{\bar{u}}_s\csc \pi (x_r-x_s)$

i

$\sum _{r\ne s}\frac{u_r{\bar{u}}_s}{{\lambda }_r-{\lambda }_s},$

on x₁,x₂,...,x_m són diferents nombres reals mòdul 1 (és a dir, pertanyen a classes diferents del grup quocient R/Z) i λ₁,...,λ_m són nombres reals diferents. Montgomery & Vaughan's van donar les següents generalitzacions de la desigualtat de Hilbert

$|\sum _{r\ne s}{u}_r\overline{u_s}\csc \pi (x_r-x_s)|\le {\delta }^{-1}\sum _r|u_r{|}^2.$

i

$\left|\sum _{r\ne s}\frac{u_r\overline{u_s}}{{\lambda }_r-{\lambda }_s}\right|\le \pi {\tau }^{-1}\sum _r|u_r{|}^2.$

on

$\delta =\underset{r,s}{\min }{}_{+}\Vert x_r-x_s\Vert ,\tau =\underset{r,s}{\min }{}_{+}\Vert {\lambda }_r-{\lambda }_s\Vert ,$

$\Vert s\Vert =\underset{m\in \mathbb{Z}}{\min }|s-m|$

és la distància de s al nombre enter més proper, i min₊ denota el valor positiu més petit. A més, si

$0<{\delta }_r\le \underset{s}{\min }{}_{+}\Vert x_r-x_s\Vert \text{and}0<{\tau }_r\le \underset{s}{\min }{}_{+}\Vert {\lambda }_r-{\lambda }_s\Vert ,$

aleshores es mantenen les següents desigualtats:

$|\sum _{r\ne s}{u}_r\overline{u_s}\csc \pi (x_r-x_s)|\le \frac{3}{2}\sum _r|u_r{|}^2{\delta }_r^{-1}.$

i

$\left|\sum _{r\ne s}\frac{u_r\overline{u_s}}{{\lambda }_r-{\lambda }_s}\right|\le \frac{3}{2}\pi \sum _r|u_r{|}^2{\tau }_r^{-1}.$

Enllaços externs

• Plantilla:Ref-llibre