Problema de Basilea

Plantilla:Falten referències En teoria de nombres, el problema de Basilea és un problema plantejat per primera vegada per Pietro Mengoli el 1644, tot i que fou Jakob Bernoulli qui el donà a conèixer més àmpliament (i d'ell prové el seu nom, ja que Jakob Bernoulli residia a Basilea). Fou solucionat per Leonhard Euler el 1735, després de resistir els atacs de diversos matemàtics. Es pot enunciar de la següent forma:

Quin és el valor exacte de la suma dels inversos dels quadrats dels nombres naturals? és a dir, quin és valor exacte de la sèrie:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots$

La sèrie s'aproxima a un valor proper a 1,644934..., que es pot anar calculant fàcilment afegint termes de la sèrie, però el problema demana el valor exacte, és a dir en una forma tancada (com una fracció, per exemple). Euler demostrà que la suma exacta de la sèrie és π²/6 i ho anuncià el 1735. Tot i així encara trigà 10 anys a donar una demostració totalment rigorosa, ja que la primera realitzava algunes operacions que no estaven plenament justificades.

Cal dir que la generalització d'aquesta sèrie per a qualsevol exponent real o complex és precisament la funció zeta de Riemann, d'importància cabdal en teoria de nombres.

La demostració original d'Euler

En primer lloc cal recordar l'expansió en sèrie de Taylor del sinus:

$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

Dividint per x obtenim

$\frac{\sin (x)}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots$

Ara cal recordar que les arrels de sin(x)/x són x = ±nπ, amb n = 1, 2, 3, ... En aquest punt Euler feu un pas agosarat i suposà que podem expressar aquesta sèrie infinita com a producte infinit dels seus factors, de la mateixa que es pot fer per a polinomis finits (evidentment aquest és un dels passos poc rigorosos de la demostració original):

$\frac{\sin (x)}{x}=(1-\frac{x}{\pi })(1+\frac{x}{\pi })(1-\frac{x}{2\pi })(1+\frac{x}{2\pi })(1-\frac{x}{3\pi })(1+\frac{x}{3\pi })\cdots =(1-\frac{x^2}{{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{4{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{9{\pi }^2})\cdots$

Obtenint el factor comú de tots els termes en x²

$-(\frac{1}{{\pi }^2}+\frac{1}{4{\pi }^2}+\frac{1}{9{\pi }^2}+\cdots )x^2$

veiem que el seu coeficient és precisament

$-(\frac{1}{{\pi }^2}+\frac{1}{4{\pi }^2}+\frac{1}{9{\pi }^2}+\cdots )=-\frac{1}{{\pi }^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$

Ara bé, en l'expansió original de sèrie de Taylor, el coeficient de x² és −1/(3!) = −1/6. Aquests dos coeficients òbviament han de ser iguals i, per tant,

$-\frac{1}{6}=-\frac{1}{{\pi }^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$

i finalment,

$\frac{{\pi }^2}{6}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$