Distribució q gaussiana

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitatEn física matemàtica i probabilitat i estadística, la distribució q gaussiana és una família de distribucions de probabilitat que inclou, com a casos límit, la distribució uniforme i la distribució normal (gaussiana). El van presentar Díaz i Terol. És un q-analògic de la distribució gaussiana o normal.

La distribució és simètrica respecte a zero i està limitada, excepte en el cas límit de la distribució normal. La distribució uniforme limitadora es troba entre -1 i +1.

Definició

Sigui q un nombre real a l'interval [0,1). La funció de densitat de probabilitat de la distribució q gaussiana ve donada per

$s_q(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{si }x<-\nu \\ \frac{1}{c(q)}{E}_{q^2}^{\frac{-q^2{x}^2}{[2{]}_q}}& \text{si }-\nu \le x\le \nu \\ 0& \text{si }x>\nu .\end{array}$

on

$\nu =\nu (q)=\frac{1}{\sqrt{1-q}},$

$c(q)=2(1-q{)}^{1/2}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m{q}^{m(m+1)}}{(1-q^{2m+1})(1-q^2{)}_{q^2}^m}.$

El q -analògic [ t ] _q del nombre real $t$ està donat per

$[t{]}_q=\frac{q^t-1}{q-1}.$

La funció de distribució acumulada de la distribució q gaussiana ve donada per

$G_q(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{si }x<-\nu \\ \frac{1}{c(q)}\underset{-\nu }{\overset{x}{\int }}{E}_{q^2}^{-q^2{t}^2/[2]}{d}_{q}t& \text{si }-\nu \le x\le \nu \\ 1& \text{si }x>\nu \end{array}$

on el símbol d'integració denota la integral de Jackson.