Distribució normal-inversa-Wishart

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitatEn la teoria i l'estadística de la probabilitat, la distribució normal-inversa-Wishart (o distribució gaussiana-inversa-Wishart) és una família multivariada de quatre paràmetres de distribucions de probabilitat contínues. És l'a priori conjugat d'una distribució normal multivariant amb mitjana desconeguda i matriu de covariància (la inversa de la matriu de precisió).

Definició

Suposant

$\mathit{\mu }|{\mathit{\mu }}_0,\lambda ,\mathrm{\Sigma }\sim 𝒩\left(\mathit{\mu }\right|{\mathit{\mu }}_0,\frac{1}{\lambda }\mathrm{\Sigma })$

té una distribució normal multivariant amb mitjana ${\mathit{\mu }}_0$ i matriu de covariància $\frac{1}{\lambda }\mathrm{\Sigma }$, on

$\mathrm{\Sigma }|\mathrm{\Psi },\nu \sim {𝒲}^{-1}(\mathrm{\Sigma }|\mathrm{\Psi },\nu )$

té una distribució de Wishart inversa. Aleshores $(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$ té una distribució normal-inversa-Wishart, denotada com

$(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })\sim \mathrm{N}\mathrm{I}\mathrm{W}({\mathit{\mu }}_0,\lambda ,\mathrm{\Psi },\nu ).$

Caracterització

Funció de densitat de probabilitat

$f(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma }|{\mathit{\mu }}_0,\lambda ,\mathrm{\Psi },\nu )=𝒩\left(\mathit{\mu }\right|{\mathit{\mu }}_0,\frac{1}{\lambda }\mathrm{\Sigma }){𝒲}^{-1}(\mathrm{\Sigma }|\mathrm{\Psi },\nu )$

La versió completa del PDF és la següent:

$f(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma }|\mathit{\delta },\gamma ,\mathrm{\Psi },\alpha )=\frac{{\gamma }^{D/2}|\mathrm{\Psi }{|}^{\alpha /2}|\mathrm{\Sigma }{|}^{-\frac{\alpha +D+2}{2}}}{(2\pi {)}^{D/2}{2}^{\frac{\alpha D}{2}}{\mathrm{\Gamma }}_D(\frac{\alpha }{2})}\text{exp}\{-\frac{1}{2}Tr({\mathrm{\Psi }\mathrm{\Sigma }}^{-1})-\frac{\gamma }{2}(\mathit{\mu }-\mathit{\delta }{)}^T{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(\mathit{\mu }-\mathit{\delta })\}$

Aquí ${\mathrm{\Gamma }}_D[\cdot ]$ és la funció gamma multivariant i $Tr(\mathrm{\Psi })$ és la traça de la matriu donada.