Distribució normal-inversa-Wishart

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitatEn la teoria i l'estadística de la probabilitat, la distribució normal-inversa-Wishart (o distribució gaussiana-inversa-Wishart) és una família multivariada de quatre paràmetres de distribucions de probabilitat contínues. És l'a priori conjugat d'una distribució normal multivariant amb mitjana desconeguda i matriu de covariància (la inversa de la matriu de precisió).

Definició

Suposant

$𝝁|{𝝁}_0,\lambda ,𝜮\sim 𝒩\left(𝝁\right|{𝝁}_0,\frac{1}{\lambda }𝜮)$

té una distribució normal multivariant amb mitjana ${𝝁}_0$ i matriu de covariància $\frac{1}{\lambda }𝜮$, on

$𝜮|𝜳,\nu \sim {𝒲}^{-1}(𝜮|𝜳,\nu )$

té una distribució de Wishart inversa. Aleshores $(𝝁,𝜮)$ té una distribució normal-inversa-Wishart, denotada com

$(𝝁,𝜮)\sim \mathrm{N}\mathrm{I}\mathrm{W}({𝝁}_0,\lambda ,𝜳,\nu ).$

Caracterització

Funció de densitat de probabilitat

$f(𝝁,𝜮|{𝝁}_0,\lambda ,𝜳,\nu )=𝒩\left(𝝁\right|{𝝁}_0,\frac{1}{\lambda }𝜮){𝒲}^{-1}(𝜮|𝜳,\nu )$

La versió completa del PDF és la següent:

$f(𝝁,𝜮|𝜹,\gamma ,𝜳,\alpha )=\frac{{\gamma }^{D/2}|𝜳{|}^{\alpha /2}|𝜮{|}^{-\frac{\alpha +D+2}{2}}}{(2\pi {)}^{D/2}{2}^{\frac{\alpha D}{2}}{\Gamma }_D(\frac{\alpha }{2})}\text{exp}\{-\frac{1}{2}Tr({𝜳𝜮}^{-1})-\frac{\gamma }{2}(𝝁-𝜹{)}^T{𝜮}^{-1}(𝝁-𝜹)\}$

Aquí ${\Gamma }_D[\cdot ]$ és la funció gamma multivariant i $Tr(𝜳)$ és la traça de la matriu donada.