Distribució Wishart complexa

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitat En estadística, la distribució Wishart complexa és una versió complexa de la distribució Wishart. És la distribució de $n$ vegades la matriu de covariància hermitiana mostral de $n$ variables aleatòries gaussianes independents de mitjana zero. Té suport per $p\times p$ Matrius definides positives hermitianes.

La distribució complexa de Wishart és la densitat d'una matriu de covariància de mostra amb valors complexos. Si es fa

$S_{p\times p}=\sum _{i=1}^n{G}_i{G}_i^H$

on cadascun $G_i$ és una columna p -vector independent de mostres de mitjana zero gaussianes complexes aleatòries i $(.{)}^H$ és una transposició hermitiana (conjugada complexa). Si la covariància de G és $𝔼[G{G}^H]=M$ aleshores

$S\sim n𝒞𝒲(M,n,p)$

on $𝒞𝒲(M,n,p)$ és la distribució central complexa de Wishart amb n graus de llibertat i valor mitjà, o matriu d'escala, M.

$f_S(𝐒)=\frac{{\left|𝐒\right|}^{n-p}{e}^{-\mathrm{tr}({𝐌}^{-1}𝐒)}}{{\left|𝐌\right|}^n\cdot 𝒞{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_p(n)},n\ge p,\left|𝐌\right|>0$

on

$𝒞{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_p^{}(n)={\pi }^{p(p-1)/2}\prod _{j=1}^p\mathrm{\Gamma }(n-j+1)$

és la funció gamma multivariant complexa.

Utilitzant la regla de rotació de traça $\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(CAB)$ també aconseguim

$f_S(𝐒)=\frac{{\left|𝐒\right|}^{n-p}}{{\left|𝐌\right|}^n\cdot 𝒞{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_p(n)}\exp (-\sum _{i=1}^p{G}_i^H{𝐌}^{-1}{G}_i)$

que és bastant proper al complex pdf multivariant de G mateix. Els elements de G tenen convencionalment simetria circular tal que $𝔼[G{G}^T]=0$.