Suport d'una probabilitat

Sigui $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ un espai de probabilitat. S'anomena suport de la probabilitat $P$ a qualsevol esdeveniment $A\in 𝒜$ tal que $P(A)=1$. Naturalment, sempre interessa considerar el suport més petit possible, ja que ens proporcionarà més informació sobre la probabilitat.

En el cas que $\mathrm{\Omega }=ℝ$ i $𝒜=ℬ(ℝ)$ la $\sigma$-àlgeba de Borel sobre $ℝ$, també s'utilitza el suport tancat que és el conjunt tancat més petit que és un suport de $P$. El suport tancat està format per tots aquells punts $x\in ℝ$ tals que qualsevol entorn $U$ seu compleix $P(U)>0$. Equivalentment, si $F$ és la funció de distribució de $P$, el suport és el conjunt dels $x\in ℝ$ tals que per tot $\epsilon >0$, $$F(x+\epsilon )-F(x-\epsilon )>0.$$ Els punts del suport tancat s'anomenen punts de creixement de $F$.

La noció de suport tancat es pot estendre a mesures definides en un espai topològic. Sigui $(E,ℬ,\mu )$ un espai de mesura on $E$ és un espai topològic i $ℬ$ la $\sigma$-àlgeba de Borel associada. S'anomena suport de $\mu$ al menor conjunt tancat $C$ tal que $\mu (E\mathrm{\setminus }C)=0$. Es demostra que si $E$ és metritzable i separable, el suport de $\mu$ sempre existeix.

Vegeu també

• Suport (matemàtiques)