Matriu de Toeplitz

En àlgebra lineal, una matriu de Toeplitz o matriu de constants diagonals, anomenada després d'Otto Toeplitz, és una matriu en la qual cada diagonal descendent d'esquerra a dreta és constant. Per exemple, la matriu següent és una matriu de Toeplitz:

$\left[\begin{array}{ccccc}a& b& c& d& e\\ f& a& b& c& d\\ g& f& a& b& c\\ h& g& f& a& b\\ i& h& g& f& a\end{array}\right].$

Qualsevol matriu $A$ $n\times n$ de la forma

$A=\left[\begin{array}{cccccc}{a}_0& a_{-1}& a_{-2}& \cdots & \cdots & a_{-(n-1)}\\ a_1& a_0& a_{-1}& \ddots & & ⋮\\ a_2& a_1& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & a_{-1}& a_{-2}\\ ⋮& & \ddots & a_1& a_0& a_{-1}\\ a_{n-1}& \cdots & \cdots & a_2& a_1& a_0\end{array}\right]$

és una matriu de Toeplitz. Si el $i,j$ element de $A$ es denota $A_{i,j}$ llavors tenim

$A_{i,j}=A_{i+1,j+1}=a_{i-j}.$

Una matriu de Toeplitz no és necessàriament quadrada.

Resolució d'un sistema Toeplitz

Una equació matricial de la forma

$Ax=b$

s'anomena sistema Toeplitz si $A$ és una matriu de Toeplitz. Si $A$ és un $n\times n$ Toeplitz matriu, llavors el sistema té com a màxim només $2n-1$ valors únics, més que $n^2$. Per tant, podríem esperar que la solució d'un sistema Toeplitz fos més fàcil, i de fet és així.

Els sistemes Toeplitz es poden resoldre mitjançant algorismes com l'algoritme de Schur o l'algoritme de Levinson en $O(n^2)$ temps. S'ha demostrat que les variants d'aquest últim són feblement estables (és a dir, presenten estabilitat numèrica per a sistemes lineals ben condicionats). Els algorismes també es poden utilitzar per trobar el determinant d'una matriu de Toeplitz $O(n^2)$ temps.

Una matriu de Toeplitz també es pot descompondre (és a dir, factoritzar) en temps $O(n^2)$. L'algorisme de Bareiss per a una descomposició LU és estable. Una descomposició LU proporciona un mètode ràpid per resoldre un sistema Toeplitz, i també per calcular el determinant.

Propietats generals

• An La matriu de Toeplitz es pot definir com una matriu on , per a constants. El conjunt de Les matrius de Toeplitz són un subespai de l'espai vectorial de matrius (sota suma matricial i multiplicació escalar).
• Es poden afegir dues matrius de Toeplitz temps (emmagatzemant només un valor de cada diagonal) i multiplicat per temps.
• Les matrius de Toeplitz són persimètriques. Les matrius de Toeplitz simètriques són tant centrosimètriques com bisimètriques.
• Les matrius de Toeplitz també estan estretament relacionades amb les sèries de Fourier, perquè l'operador de multiplicació per un polinomi trigonomètric, comprimit a un espai de dimensions finites, es pot representar amb aquesta matriu. De la mateixa manera, es pot representar la convolució lineal com a multiplicació per una matriu de Toeplitz.
• Les matrius de Toeplitz es desplacen de manera asimptòtica. Això significa que es diagonalitzen en la mateixa base quan la dimensió de fila i columna tendeix a l'infinit.

• Per a les matrius de Toeplitz simètriques, hi ha la descomposició

$\frac{1}{a_0}A=G{G}^{\mathrm{T}}-(G-I)(G-I{)}^{\mathrm{T}}$

on és la part triangular inferior de $\frac{1}{a_0}A$.

• La inversa d'una matriu de Toeplitz simètrica no singular té la representació $A^{-1}=\frac{1}{{\alpha }_0}(B{B}^{\mathrm{T}}-C{C}^{\mathrm{T}})$

on i són matrius de Toeplitz triangulars inferiors i és una matriu triangular estrictament inferior.