Àlgebra de Lie lineal especial

En matemàtiques, l'àlgebra de Lie lineal especial d'ordre n sobre un camp $F$, denotada ${𝔰𝔩}_{n}F$ o $𝔰𝔩(n,F)$, és l'àlgebra de Lie de totes les matrius $n\times n$ (amb entrades en $F$ ) amb traça zero i amb el suport de Lie $[X,Y]:=XY-YX$ donat pel commutador. Aquesta àlgebra està ben estudiada i s'entén, i sovint s'empra com a model per a l'estudi d'altres àlgebres de Lie. El grup Lie que genera és el grup lineal especial.

Aplicacions

L'àlgebra de Lie ${𝔰𝔩}_2ℂ$ és fonamental per a l'estudi de la relativitat especial, la relativitat general i la supersimetria: la seva representació fonamental és l'anomenada representació de l'espinor, mentre que la seva representació adjunta genera el grup de Lorentz SO(3,1) de la relativitat especial.

L'àlgebra ${𝔰𝔩}_2ℝ$ juga un paper important en l'estudi del caos i els fractals, ja que genera el grup de Möbius SL(2,R), que descriu els automorfismes del pla hiperbòlic, la superfície de Riemann més simple de curvatura negativa; per contra, SL(2,C) descriu els automorfismes de la bola hiperbòlica Plantilla:Nowrap.

Teoria de la representació

Teoria de representació de sl₂C

L'àlgebra de Lie ${𝔰𝔩}_2ℂ$ és una àlgebra de Lie complexa tridimensional. La seva característica definitòria és que conté una base $e,h,f$ satisfer les relacions de commutació

$[e,f]=h$, $[h,f]=-2f$, and $[h,e]=2e$.

Aquesta és una base de Cartan-Weyl ${𝔰𝔩}_2ℂ$. Té una realització explícita en termes de matrius complexes de 2 per 2 amb traça zero:

$E=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$, $F=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]$, $H=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$.

Aquesta és la representació fonamental o definitòria ${𝔰𝔩}_2ℂ$.

L'àlgebra de Lie ${𝔰𝔩}_2ℂ$ es pot veure com un subespai de la seva àlgebra envoltant universal $U=U({𝔰𝔩}_2ℂ)$ i, en $U$, hi ha les següents relacions de commutador mostrades per inducció:

$[h,f^k]=-2k{f}^k,[h,e^k]=2k{e}^k$ ,

$[e,f^k]=-k(k-1)f^{k-1}+k{f}^{k-1}h$

Cal tenir en compte que, aquí, els poders $f^k$, etc. es refereixen a les potències com a elements de l'àlgebra U i no a les potències de la matriu. El primer fet bàsic (que es desprèn de les relacions de commutador anteriors) és:

Lema — Sigui V una representació de ${𝔰𝔩}_2ℂ$ i v una representació en ella. Fent $v_j=\frac{1}{j!}{f}^j\cdot v$ per tot =0,1,... si v és un vector propi per l'acció d'h, és a dir, $h\cdot v=\lambda v$ per nombres complexos $\lambda$ tal que:

• $h\cdot v_j=(\lambda -2j)v_j$
• $e\cdot v_j=\frac{1}{j!}{f}^j\cdot e\cdot v+(\lambda -j+1)v_{j-1}$
• $f\cdot v_j=(j+1)v_{j+1}$

D'aquest lema, es dedueix el següent resultat fonamental:

Teorema — Sigui V una representació de ${𝔰𝔩}_2ℂ$ que pot tenir dimensió infinita i un vector v dins V que és vector ponderat $𝔟=ℂh+ℂe$(b en subàlgebra Borel), Llavors:

• $v_j$ no nuls són linealment independents.
• si cap $v_j$ és nul, llavors els valors propis h de v és un nombre enter no negatiui N>=0 tal que $v_0,v_1,\dots ,v_N$ són no nuls i $v_{N+1}=v_{N+2}=\cdots =0$. Àdhuc, el subespai definit per $v_j$ és ${𝔰𝔩}_2ℂ$.

La primera afirmació és certa des dels dos $v_j$ és zero o té $h$ -valor propi diferent dels valors propis dels altres que són diferents de zero. dient $v$ és a $𝔟$-pess vector equival a dir que és alhora un vector propi de $h$ i $e$; un breu càlcul mostra llavors que, en aquest cas, el $e$-valor propi de $v$ és zero: $e\cdot v=0$. Així, per a algun nombre enter $N\ge 0$, $v_N\ne 0,v_{N+1}=v_{N+2}=\cdots =0$ i en particular, pel lema anterior,

$0=e\cdot v_{N+1}=(\lambda -(N+1)+1)v_N,$

Teoria de representació de sl_nC

Quan $𝔤={𝔰𝔩}_nℂ=𝔰𝔩V$ per a un espai vectorial complex $V$ de dimensió $n$, cada representació irreductible de dimensions finites de $𝔤$ es pot trobar com una subrepresentació d'una potència tensor de $V$.

L'àlgebra de Lie es pot realitzar explícitament com una matriu àlgebra de Lie sense traça $n\times n$ matrius. Aquesta és la representació fonamental per ${𝔰𝔩}_nℂ$.