3-varietat

Plantilla:Falten referències Les 3-varietats, en topologia de dimensions baixes, són un camp que estudia varietats topològiques de tres dimensions. És a dir, espais de Hausdorff que són localment homeomorfs en l'espai euclidià ${ℝ}^3$.

Se sap que les categories topològiques, diferenciables i PL són totes equivalents per al cas de 3-varietats, de manera que poca distinció es presta a quina categoria s'està usant.

Aquesta part de la matemàtica té una estreta connexió amb altres camps d'estudi com les superfícies, les 4-varietat, la teoria de nusos, les teories de camp quàntic, les teories de calibratge i les equacions en derivades parcials. Es diu també que la teoria de 3-varietats és part de la topologia geomètrica.

Una idea clau per a estudiar aquests objectes és considerar superfícies encaixades en aquests. Això condueix a la idea de superfície incompressible (incompressible surface) i la teoria de varietats de Haken, en què un pot triar de tal manera que les peces complementàries siguin menys complexes, la qual cosa condueix a la noció de jerarquies o la descomposició mitjançant cubs amb nanses o també les anomenades descomposicions de Heegaard.

Exemples sense frontera

Com a primeres mostres de la gran varietat d'objectes, pensem en espais compactes i sense frontera: un primer exemple, la 3-esfera $S^3$. Un altre més és l'espai projectiu $ℝP^3$. És possible obtenir espais de tres dimensions amb el producte cartesià:

$S^2\times S^1$

$ℝP^2\times S^1$

$T\times S^1$

$K\times S^1$

O bé fibrats de la manera $S^1\subset E\to \mathrm{\Sigma }$, en què $\mathrm{\Sigma }$ és un orbifold: aquests són els fibrats de Scott-Seifert,indispensables per a entendre les modernes classificacions de les 3-varietats.

També tenim els fibrats de les maneres $F\subset E\to S^1$, i és $F$ una superfície tancada. Aquests són font d'exemples molt importants.

Exemples amb frontera

Hi ha 3-varietats amb frontera, com la 3-bola unitària $D^3$ o el tor sòlid $D^2\times S^1$, les fronteres són les 2 - esfera i el tor, respectivament. L'ampolla de Klein sòlida és un altre exemple de tres varietat amb frontera que és una superfície una ampolla de Klein.

També hi ha tots els fibrats de la forma

$I\subset E\to F$ (I-bundles)

on $I$ és un interval i $F$ una superfície. Exemple és el fibrat (orientable) per interval sobre l'ampolla de Klein, $\widetilde{K\times I}/O$, que és el $I$-bundle que construeix enganxant dos tors sòlids identificant dos cèrcols a la frontera, un a cada un d'ells. Cada un d'aquests cercles és la veïnatge regular d'una corba $(2,1)$ dues-longituds i un meridià , ie un nus ric. Sabem que la seva frontera, $\partial (\widetilde{K\times I}/O)$, és un tor $S^1\times S^1$. A més $\widetilde{K\times I}/O$ correspon a $\widetilde{M\ddot{o}\times S^1}$.

Un altre exemple és el producte cartesià $M\ddot{o}\times S^1$ de la banda de Möbius amb el cercle i el qual és $\widetilde{T\times I}$ i és diferent de $\widetilde{K\times I}/O$.

També la frontera $\partial (M\ddot{o}\times S^1)$ és $(\partial M\ddot{o})\times S^1$, la qual també és un tor $S^1\times S^1$.

Tipus de 3-varietats

• Complements de nusos i enllaços (knots and links)
• Fibrat de Seifert, fibrat clàssic de Seifert. Fibrat de Scott
• Espais tipus lent (lens spaces)
• Fibrat de superfície (surface bundles) sobre el cercle
• Varietats de Haken
• Graph manifolds
• Esferes homològiques.

Resultats Fonamentals

• Teorema de Descomposició Prima
• Teorema de Moise
• Descomposició de JSJ
• Teoremes del Llaç i l'Esfera (que generalitzen el Lema de Dehn).
• Teorema de geometrització per varietats de Haken
• Teorema de Lickorish-Wallace

Problemes famosos

• Conjectura de Poincaré
• Geometrització de Thurston
• Conjectura de la fibració virtual.
• Conjectura de ser virtualment Haken.

Bibliografia

• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref
• Plantilla:Citar ref

Enllaços externs

• A. Hatcher Basic topology of 3-manifolds Plantilla:Commonscat