Atles (topologia)

Un atles és un conjunt de cartes (entorns de coordenades) que proveeixen d'estructura localment euclidiana a un espai topològic.

Cada carta cobreix un entorn de l'espai donant coordenades als punts dins d'aquest entorn. Un atles és un conjunt de cartes que, a més de cobrir l'espai del tot, en cas de superposició entre dues cartes, les coordenades proveïdes per una i altra estan relacionades simplement per una funció vectorial amb "bones propietats" (és un homeomorfisme fins i tot un difeomorfisme).

Els atles són l'eina que permet donar estructura diferenciable als espais topològics, i el substrat per a les nocions de la geometria diferencial de varietats.

Definició

Donat un espai topològic $X$, una carta (o també entorn coordenat) és un parell $(U,\phi )$, on $U$ és un obert de $X$, i $\phi :U\to {ℝ}^n$ un homeomorfisme entre $U$ i l'espai euclidià ${ℝ}^n$. Aquest homeomorfisme proveeix de coordenades als punts de l'entorn $U$.

Un atles és un conjunt de cartes que cobreix la varietat al complet, i de tal manera que siguin compatibles entre si: si dues cartes donen coordenades diferents per a una regió de $X$, llavors la funció "canvi de coordenades "ha de ser bijectiva i contínua en els dos sentits. És a dir: Plantilla:Definició

Diferenciabilitat

La definició anterior és estrictament per a un atles de classe ${𝒞}^0$. Exigint que les funcions de transició ${\varphi }_{ij}$ siguin difeomorfismes de classe ${𝒞}^k$, obtindríem un atles de classe ${𝒞}^k$ (on $k$ és un enter positiu, $\mathrm{\infty }$, o fins i tot $\omega$ per atles analítics).

Compatibilitat. Estructura diferenciable.

La condició de compatibilitat entre cartes ens permet definir si dos atles de classe ${𝒞}^k$ són al seu torn compatibles : ho són si la seva unió conjuntista és un atles al seu torn, és a dir, si poden "ajuntar" en un sol atles.

Dues atles compatibles però diferents donen coordenades a l'espai X de maneres essencialment equivalents. Per definir l'estructura de varietat (ja sigui topològica o diferenciable) sense ambigüitats, es recorre a una classe d'equivalència d'atles compatibles entre si. Una altra manera és fer servir un atles maximal , que conté qualsevol atles compatible amb ell. A aquests atles maximals se'ls denomina també estructures diferenciables (de classe ${𝒞}^k$).

Vegeu també

• Varietat diferenciable
• Varietat topològica

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre