Carta (topologia)

Carta s'inclou en terminologia matemàtica en el sentit cartogràfic, l'objectiu és el d'unir una sèrie de cartes o "mapes" perquè ens permetin definir completament un atles o "col·lecció de mapes" de la totalitat d'un espai topològic que volem estudiar.

Per a una ampliació contextual de la definició vegeu varietats diferenciables.

Definició de cartes

Donat un espai topològic $M_{}^{}$, anomenarem carta de dimensió $m_{}^{}$ dins $M_{}^{}$ a un parell $(O,{\mathrm{\Phi }}_{}^{})$ tal que l'aplicació $\mathrm{\Phi }:U=\stackrel{\circ }{O}\subset M\to {ℝ}^m$ compleixi que ${\mathrm{\Phi }}_{}^{}(U)$ sigui un obert i ${\mathrm{\Phi }}_{}^{}$ sigui un homeomorfisme (bijectiva, contínua i inversa contínua).

Notes

• Direm que $O_{}^{}$ és un obert coordenat.
• Si $p\in U$, direm que $O_{}^{}$ és un entorn coordenat de $p_{}^{}$.

• Si $\mathrm{\Phi }(p)=0_{}^{}$, direm que la carta està centrada en $p_{}^{}$.

Exemples trivials

1) Si $M={ℝ}^n$ podem veure que $({ℝ}^n,id:{ℝ}^n\to {ℝ}^n)$ és carta $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n>0$.

2) Si $M=ℝ$ podem veure que $((a,b),i:(a,b)\hookrightarrow ℝ)$ és carta $\mathrm{\forall }a,b\in ℝ:a<b$.

3) Si $M=ℝ$ podem veure que $(ℝ,x\mapsto x^3)$ és carta, també ho és $x^{2n+1}\mathrm{\forall }n>1$.

Demostració:

$ℝ$ és espai topològic, $\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\exists }!x^3,\mathrm{\exists }!\sqrt[3]{x}$, després és bijectiva i com és contínua tenim un homeomorfisme.

4) Si $M=S^1\subset ℝ\cong ℂ$ podem veure que $(S^1\{i\},\mathrm{\Phi })$ és carta per:

$\begin{array}{cccc}\mathrm{\Phi }:& S^1\{i\}& ⟶& (-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2})\\ & z& ⟼& \theta :=\det -{\arg }_{(-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2})}(z)\end{array}$.

5) Si $M=S^1\subset ℝ\cong ℂ$ podem veure que $(S^1\{i\},\psi )$ és carta per:

La projecció estereogràfica $\begin{array}{cccc}\psi :& S^1\{i\}& ⟶& ℝ\\ & z& ⟼& x:=\frac{cos(arg(z))}{1-sin(arg(z))}\end{array}$.

6) Si $M=S^n\subset {ℝ}^{n+1}$ podem veure que $(S^n\{(0,\dots ,0,1)\},\mathrm{\Phi })$ és carta per:

$\begin{array}{cccc}\mathrm{\Phi }:& S^n\{(0,\dots ,0,1)\}& ⟶& {ℝ}^n\\ & (x_1,\dots ,x_{n+1})& ⟼& \frac{(x_1,\dots ,x_n)}{1-x_{n+1}}\end{array}$.

Bibliografia

La mateixa que Varietat diferenciable.