Clausura topològica

En un espai topològic $(X,\tau )$, la clausura o adherència d'un subconjunt $E\subseteq X$ és el conjunt:

Plantilla:Equació on $𝒩(x)$ és el símbol d'un veïnat de x. Per tant, un punt de $x\in X$ pertany a la clausura d'un subconjunt si tot entorn del punt interseca el subconjunt. En este cas, $x$ es tracta d'un punt adherent de $E$.

Per a denotar l'adherència d'un subconjunt $E$, són d'ús comú les notacions $\overline{E}$, $\mathrm{cl}E$ i $\mathrm{ad}E$.

Propietats

Per a un espai topològic $(X,\tau )$ i un subconjunt $S$, la clausura $\mathrm{cl}S$ satisfà les següents propietats:

• $S\subseteq \mathrm{cl}S$.
• $\mathrm{cl}S$ és un conjunt tancat.
• Si $C$ és un conjunt tancat tal que $S\subseteq C$, aleshores $\mathrm{cl}S\subseteq C$.
• $S$ és tancat si i només si $\mathrm{cl}S=S$.
• Si $S\subseteq T$, aleshores $\mathrm{cl}S\subseteq \mathrm{cl}T$.
• La clausura és idempotent: $\mathrm{cl}(\mathrm{cl}S)=\mathrm{cl}S$.
• $\mathrm{cl}(S\cup T)=\mathrm{cl}S\cup \mathrm{cl}T$.
• $\mathrm{cl}(S\cap T)\subseteq \mathrm{cl}S\cap \mathrm{cl}T$.

Exemples

• Per a qualsevol espai topològic, $\mathrm{cl}\mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$ i $\mathrm{cl}X=X$.
• Amb la mètrica usual en $ℝ$, $\mathrm{cl}(]a,b[)=[a,b]$.
• Els nombres racionals i els irracionals són densos en $ℝ$: $\mathrm{cl}\mathbb{Q}=\mathrm{cl}(ℝ\setminus \mathbb{Q})=ℝ$.
• En un espai topològic discret, $\mathrm{cl}S=S$.
• En la topologia trivial, $\mathrm{cl}S=X$ si $S\ne \mathrm{\varnothing }$.
• En els espais de Hausdorff i en la topologia cofinita, si $S$ és finit, $\mathrm{cl}S=S$.

Vegeu també

• Punt adherent
• Interior
• Frontera