Comparació de topologies

En topologia, el conjunt de totes les topologies sobre un conjunt donat és un conjunt parcialment ordenat. Aquesta relació d'ordre pot utilitzar-se per comparar topologies.

Definició

Sigui $X$ un conjunt, una topologia $𝒯$ sobre aquest conjunt és una família de subconjunts anomenats oberts que compleixen determinades condicions.

Siguin ${𝒯}_1$ i ${𝒯}_2$ dues topologies sobre $X$, aleshores la topologia ${𝒯}_1$ és més fina que ${𝒯}_2$ si ${𝒯}_2\subseteq {𝒯}_1$. També, es diu que ${𝒯}_2$ és més gruixuda o més feble que ${𝒯}_1$. Si la relació d'inclusió és estricta, s'afegeix el terme estrictament. Si ${𝒯}_2={𝒯}_1$, les topologies són equivalents.

La relació d'inclusió $\subseteq$ defineix una relació parcial d'ordre sobre el conjunt de possibles topologies sobre $X$.

Exemples

• La topologia més fina sobre un conjunt donat és la topologia discreta i la topologia més gruixuda és la trivial.
• Sobre els reals, la topologia estàndard és més feble que la topologia de Sorgenfrey.
• Sobre ${ℝ}^n$, les topologies induïdes per la distància euclidiana, distància del màxim i distància de Manhattan són equivalents.
• Sobre $ℝ$, la topologia cofinita és més feble que la estàndard.

Propietats

Siguin ${𝒯}_1$ i ${𝒯}_2$ dues topologies sobre $X$. Les següents condicions són equivalents:

• ${𝒯}_1\subseteq {𝒯}_2$
• La funció identitat $i{d}_X:(X,{𝒯}_2)\to (X,{𝒯}_1)$ és contínua.
• La funció identitat $i{d}_X:(X,{𝒯}_1)\to (X,{𝒯}_2)$ és oberta.

Vegeu també

• Espai topològic

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre